《【专题通关攻略 世纪金榜】2017届高三数学（文）二轮（新课标）专题复习课件：1.2.4导数的简单应用 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【专题通关攻略 世纪金榜】2017届高三数学（文）二轮（新课标）专题复习课件：1.2.4导数的简单应用 （90页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四讲 导数的简单应用,【知识回顾】 1.基本初等函数的八个导数公式,0,x-1,cosx,-sinx,axlna,ex,2.导数的四则运算法则 f(x)g(x)=_; f(x)g(x)=_; =_(g(x)0).,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),3.函数的单调性与导数的关系 f(x)0f(x)为_; f(x)0f(x)为_; f(x)=0f(x)为常数函数.,增函数,减函数,4.导数与极值的关系 若函数的导数存在,某点的导数等于零是函数在该点取 得极值的_条件.,必要而不充分,【易错提醒】 1.忽略条件致误:求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前
2、者点P为切点,后者点P不一定为切点.,2.忽略函数的定义域:在研究函数的单调性、极值、最值时,一定要注意函数的定义域优先原则,否则容易出现多考虑问题而出错或不能求解等情况. 3.忽略导函数与该函数极值间的关系致误:在求解与函数极值有关的问题时,忽略导函数与该函数极值之间的关系,造成错解或无从入手.,【考题回访】 1.(2014全国卷)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+)上单调递增,则k的取值范围是 ( ),【解析】选D.因为f(x)=kx-lnx在区间(1,+)单调递 增,所以f(x)=k- 0在(1,+)恒成立且在它的任 何子区间内不恒等于零,即k10.,2.(2016全国卷)已知f
3、(x)为偶函数,当x0时,f(x) =ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是_.,【解析】设x0,则-x0,因为x0时 = +3x,所 以 =lnx-3x,又因为 为偶函数,所以 =lnx- 3x, =1-3=-2,所以切线方程为y+3= ,即2x+y+1=0. 答案:2x+y+1=0,3.(2015全国卷)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a=_.,【解析】因为f(x)=3ax2+1,所以图象在点(1,f(1)处的切线的斜率k=3a+1,所以切线方程为y-7= (3a+1)(x-2),即y=(3a+1)x-6a+5
4、,又切点为(1,f(1), 所以f(1)=3a+1-6a+5=-3a+6,又f(1)=a+2, 所以-3a+6=a+2,解得a=1. 答案:1,热点考向一 导数的几何意义 命题解读:主要考查利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程,或由切线方程求参数值,以选择题、填空题为主,有时也会在解答题的第一问出现.,【典例1】(1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程是_. (2)(2015全国卷)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=_.,【解题导引】(1)先求出
5、当x0时f(x)的解析式,再利用导数求切线方程. (2)先对函数y=x+lnx求导,然后将(1,1)代入到导函数中,求出切线的斜率,从而确定切线方程,再将切线方程与曲线y=ax2+(a+2)x+1联立,利用=0求出a的值.,【规范解答】(1)设x0,则-x0,因为x0时 =e-x-1 -x,所以 =ex-1+x,又因为 为偶函数,所以 =ex-1+x, =ex-1+1, =e1-1+1=2,所以切线方程为 y-2=2(x-1),即2x-y=0. 答案:2x-y=0,(2)y=1+ ,则曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线斜率 为k= =1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为y=2x-1
6、与 曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立 得ax2+ax+2=0,显然a0,所以由=a2-8a=0a=8. 答案:8,【规律方法】 1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程: 求出切线的斜率f(x0),由点斜式写出方程.,(2)已知切线的斜率为k,求y=f(x)的切线方程: 设切点P(x0,y0),通过方程k=f(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.,(3)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程: 设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再
7、由点斜式或两点式写出方程.,2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数 已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直,利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解.,【题组过关】 1.(2016佛山一模)曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线方程为 ( ) A.y=x+1 B.y=x-1 C.y=3x+1 D.y=-x+1,【解析】选C.求导函数可得y=ex+2, 当x=0时,y=e0+2=3, 所以曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线方程为y=3x+1.,2.(2016张掖一模)函数f(x)=lnx+ax图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a
8、的取值范围是 ( ) A.(-,2 B.(-,2) C.0,+) D.(2,+),【解析】选B.函数f(x)=lnx+ax图象上存在与直线2x-y =0平行的切线,即f(x)=2在(0,+)上有解,而f(x) = +a,即 +a=2在(0,+)上有解,a=2- ,因为x0, 所以2- 2,所以a的取值范围是(-,2).,【加固训练】 1.(2016揭阳二模)已知函数f(x)=x2-ax的图象在点 A(1,f(1)处的切线l与直线x+3y-1=0垂直,记数列 的前n项和为Sn,则S2016的值为 ( ),【解析】选B.由题意知f(x)=x2-ax的图象在点A(1, f(1)处的切线斜率k=f(1
9、)=2-a=3a=-1,故,2.(2016亳州一模)已知函数f(x)=axlnx,aR,若f(e)=3,则a的值为_.,【解析】f(x)=a(1+lnx),aR,f(e)=3, 所以a(1+lne)=3,所以a= . 答案:,热点考向二 利用导数研究函数的单调性 命题解读:主要考查导函数值与函数单调性之间的关系,利用导函数来研究函数的单调性,或由函数的单调性求某参数值(或取值范围),三种题型都有可能出现.,命题角度一 确定函数的单调性(区间) 【典例2】(2016洛阳一模)已知函数f(x)= ,其中常数k0, (1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性.,(2)若k4,+),曲线y=f(x)上总
10、存在相异两点M(x1, y1),N(x2,y2)使得曲线y=f(x)在M,N两点处切线互相平行,求x1+x2的取值范围.,【解题导引】(1)求导函数,对k分类讨论,利用导数的正负,即可得到f(x)在区间(0,2)上的单调性. (2)利用过M,N点的切线互相平行,建立方程,结合基本不等式,再求最值,即可求x1+x2的取值范围.,【规范解答】(1)因为f(x)= 当0k0,且 2, 所以x(0,k)时,f(x)0, 所以函数f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数;,当k=2时, =k=2,f(x)2时,0 , 所以x(0, )时,f(x)0, 所以函数f(x)在(0, )上是减函数
11、,在( ,2)上是增函 数;,(2)由题意,可得f(x1)=f(x2)(x1,x20,且x1x2),令g(k)=k+ 则g(k)= 0对k4,+)恒成立, 所以g(k)g(4)=5,所以 所以x1+x2 ,故x1+x2的取值范围为（ ,+).,【易错警示】解答本例容易出现以下错误: (1)忽略函数的定义域,在函数解析式中含有对数必须满足x0. (2)对k分类讨论不全,题目中已知k0,对k分类讨论时容易对标准划分不准确,讨论不全面.,【母题变式】1.若把典例2条件变为“k0”,其他条件不变,f(x)在(0,2)上的单调性如何?,【解析】由典例2(1)解析知f(x)= 在(0,2)上f(x)0,故
12、f(x)在(0,2)上为减函数.,2.在典例2(1)中,将(0,2)改为(0,+),试求f(x)的单调区间.,【解析】由典例2(1)解析知f(x)= 因为 当0k2时,k ,f(x)的单调减区间为 增区间为,当k=2时,k= =2,f(x)2时,k ,f(x)的减区间为 增区间 为,命题角度二 根据函数的单调性求参数的取值范围 【典例3】(2016玉溪三模)若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间1,4上单调递减,则实数t的取值范围是 ( ),【解题导引】由题意可得f(x)0即3x2-2tx+30在1,4上恒成立,由函数的性质可得t的取值范围.,【规范解答】选C.因为函数f(x)=x3-tx2
13、+3x, 所以f(x)=3x2-2tx+3, 若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间1,4上单调递减, 则f(x)0,即3x2-2tx+30在1,4上恒成立, 即2tx3x2+3在1,4上恒成立, 所以t 在1,4上恒成立,令y= 由对勾函数的图象和性质可得:函数在1,4上为增函 数, 当x=4时,函数取最大值 ,所以t . 即实数t的取值范围是,【规律方法】 1.求函数的单调区间的“三个”方法 方法一 第1步:确定函数y=f(x)的定义域; 第2步:求导函数y=f(x); 第3步:解不等式f(x)0或f(x)0,解集在定义域内的部分为单调区间.,方法二 第1步:确定函数y=f(x)的定义域
14、; 第2步:求导函数y=f(x),令f(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; 第3步:把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间;,第4步:确定f(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.,方法三 第1步:确定函数y=f(x)的定义域; 第2步:求导函数y=f(x),并将其化简表示为某些基本初等函数的和、差、积、商. 第3步:利用相应基本初等函数的图象与性质,确定f(x)在某些区间的正、负,进而得到单调区间.,2.根据函数y=f(x)在(a,b)上的单调
15、性,求参数范围的方法 (1)若函数y=f(x)在(a,b)上单调递增;转化为f(x)0在(a,b)上恒成立求解. (2)若函数y=f(x)在(a,b)上单调递减,转化为f(x)0在(a,b)上恒成立求解.,(3)若函数y=f(x)在(a,b)上单调,转化为f(x)在(a,b)上不变号,即f(x)在(a,b)上恒正或恒负. (4)若函数y=f(x)在(a,b)上不单调,转化为f(x)=0在(a,b)上有解.,【变式训练】 (2016亳州一模)已知函数f(x)=ax2+ln(x+1). (1)当a=- 时,求函数f(x)的单调区间. (2)当x0,+)时,函数y=f(x)图象上的点都在 所表示的平面区域内,求实数a的取值范围.,【解析】(1)当a=- 时,f(x)=- x2+ln(x+1)(x-1), f(x)= =- (x-1), 由f(x)0解得-11.故函数f(x)的单调递增区间为(-1,1),单调递 减区间为(1,+).,(2)因为函数f(x)图象上的点都在
