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1、第一章 常用逻辑用语,章末复习课,1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系. 2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条 件的判定方法. 3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的 真假. 4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在 性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.,学习目标,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 命题及其关系,1.判断一个语句是否为命题，关键是： (1)为 ； (2)能 . 2.互为逆否关系的两个命题的真假性 . 3.四种命题之间的关系如图所示.,陈述句,判断真假,相同,知识点二 充分条件、必
2、要条件和充要条件,1.定义 一般地，若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件. 一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件. 2.特征 充分条件与必要条件具有以下两个特征： (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的 条件； (2)传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的 条件.即若pq，qr，则pr.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定.,必要,充分,知识点三 简单的逻辑联结词与量
3、词,1.常见的逻辑联结词有“ ”、“ ”、“ ”. 2.短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“x”表示“ ”. 3.短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“x”表示“ ”. 4.含有全称量词的命题叫做 命题，含有存在量词的命题叫做 命题.,且,或,非,对任意x,存在x,全称,存在性,题型探究,类型一 充分条件与必要条件、充要条件的探究,命题角度1 充分条件与必要条件的再探究 例1 设甲、乙、丙三个命题，若甲是乙的充要条件；丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，则 A.丙是甲的充分条件，但不
4、是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件,答案,解析,由得甲乙，可以理解为丙是乙的充分条件，但不是乙的必然结果，即丙乙，乙丙.则丙是甲的充分条件，但不是甲的必然结果.,若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即q的充分条件是p，p的必要条件是q. 如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p的必然结果是q，q是p的必然结果. 则pq易表述为以下几种说法： p是q的不充分条件，q的不充分条件是p； q是p的不必要条件，p的不必要条件是q.,反思与感悟,跟踪训练1 使ab0成立的一个充分不必要条件是 A.a
5、2b20 B. C.ln aln b0 D.xaxb且x0.5,答案,解析,设条件p符合条件，则p是ab0的充分条件，但不是ab0的必然结果，即有“pab0，ab0p”. A选项中，a2b20ab0，有可能是a 00b0，故B不符合条件； C选项中，ln aln b0ab1ab0，而ab0ab1，符合条件； D选项中，xaxb且x0.50.51时ab，无法得到a，b与0的大小关系，故D不符合条件.,命题角度2 充要条件的再探究 例2 设数列an、bn、cn满足：bnanan2，cnan2an1 3an2(n1,2,3，)，证明：an为等差数列的充要条件是cn为等差数列且bnbn1(n1,2,3
6、，).,证明,解析,(必要性)设an是公差为d1的等差数列， 则bn1bn(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)d1d10，所以bnbn1(n1,2,3，)成立. 又cn1cn(an1an)2(an2an1)3(an3an2)d12d13d16d1(常数)(n1,2,3，)， 数列cn为等差数列. (充分性)设数列cn是公差为d2的等差数列，且bnbn1(n1,2,3，). cnan2an13an2， cn2an22an33an4. 得cncn2(anan2)2(an1an3)3(an2an4)bn2bn13bn2.,解析,cncn2(cncn1)(cn1cn2)2d2，
7、 bn2bn13bn22d2， 同理有bn12bn23bn32d2 . 得(bn1bn)2(bn2bn1)3(bn3bn2)0. bn1bn0，bn2bn10，bn3bn20， 由得bn1bn0(n1,2,3，). 由此不妨设bnd3(n1,2,3，)，则anan2d3(常数). 由此cnan2an13an24an2an13d3， 从而cn14an12an23d34an12an5d3. 两式相减得cn1cn2(an1an)2d3， 因此an1an (cn1cn)d3 d2d3(常数)(n1,2,3，)， 数列an是等差数列.,反思与感悟,利用充要条件的定义证明问题时，需要从两个方面加以证明，切
8、勿漏掉其中一个方面.,跟踪训练2 设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai1的矩形的面积(i1,2，)，则An为等比数列的充要条件是 A.an是等比数列 B.a1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列 C.a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列 D.a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同,答案,解析,Aiaiai1，若Ai是公比为q的等比数列，则有对i1有 . 这说明a2i1及a2i均是等比数列且公比都是q，即D选项Ai为等比数列的必要条件，故研究反向问题即可. 由上述，D选项是Ai为等比数列的必要条件.设D选项为真，即设
9、a2i1，a2i均为等比数列，且公比都是q，则对iN，有 q，为等比数列.这表明D选项也是Ai为等比数列的充分条件.故选D.,类型二 等价转化思想的应用,例3 已知c0，设p：函数ycx在R上单调递减；q：不等式x|x2c|1的解集为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围.,解答,函数ycx在R上单调递减01的解集为R 函数yx|x2c|在R上恒大于1. 函数yx|x2c|在R上的最小值为2c， 2c1，得c .,反思与感悟,等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条
10、件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化.,跟踪训练3 已知命题p：(x1)(x5)0，命题q：1mx0). (1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；,解答,由命题p：(x1)(x5)0，解得1x5. 命题q：1mx0). p是q的充分条件， 1,51m,1m)，,则实数m的取值范围为(4，).,(2)若m5，“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数x的取值范围.,解答,m5，命题q：4x6. “pq”为真命题，“pq”为假命题， 命题p，q为一真一假.,解得4x1或5x6. 因此x的取值范围是4，1)(5,6).,例
11、4 已知关于x的方程(mZ)： mx24x40， x24mx4m24m50， 求方程和的根都是整数的充要条件.,类型三 分类讨论思想的应用,解答,当m0时，方程的根为x1， 方程化为x250，无整数根，m0. 当m0时，方程有实数根的充要条件是 1644m0m1； 方程有实数根的充要条件是 16m24(4m24m5)0m . m1. 又mZ，m1或m1.,当m1时，方程为x24x40，无整数根； 当m1时，方程为x24x40， 方程为x24x50. 此时和均有整数根. 综上，方程和均有整数根的充要条件是m1.,反思与感悟,分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成
12、为高考中考查学生知识和能力的热点.解题中要找清讨论的标准.,跟踪训练4 已知p： 2；q：x2axxa.若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围.,解答,又q：x2axxa，x2(a1)xa0. 当a1时，1xa. 设q对应的集合为A，p对应的集合为B， 綈p是綈q的充分条件.RBRA，即AB. 当a1时，1xa，要使AB，则1a3. 综上，符合条件的a1,3).,当堂训练,1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数，则它是负数” C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数，则
13、它不是负数”,答案,1,2,3,4,5,解析,依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数.,1,2,3,4,5,若与相交，设交线为c，若ac，bc，则ab，此时a与b无公共点，所以pq；若，则a与b的位置关系是平行或异面，a与b无公共点，所以qp.由此可知p是q的必要不充分条件，故选B.,2.已知，是两个不同的平面，直线a，直线b，p：a与b无公共点，q：，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,1,2,3,4,5,3.已知命题p：若xy，则xy，则x2y2.在命题pq；pq；p(綈q)；(綈p)q中，真命题是_.
14、,答案,解析,当xy时，xy时，x2y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题. 由真值表知，pq为假命题；pq为真命题；p(綈q)为真命题；(綈p)q为假命题.,4.对任意x1,2，x2a0恒成立，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,由x2a0，得ax2， 故a(x2)min，得a0.,(，0,答案,解析,1,2,3,4,5,两条直线的斜率互为负倒数， 两条直线互相垂直，pq. 又一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两条直线也垂直，qp. p是q的充分不必要条件.,5.(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？,解答,解不等式|3x4|2， 得p：x|x2或x0， 得q：x|x2. 綈q：x|1x2. 綈p是綈q的充分不必要条件.,(2)若p：|3x4|2，q： 0，则綈p是綈q的什么条件？,解答,1,2,3,4,5,规律与方法
