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1、2.1.2 函数的表示方法,第2章 2.1 函数的概念,学习目标 1.理解函数的三种表示方法. 2.能根据需要选择恰当的函数表示方法. 3.了解分段函数，并能进行简单应用.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 解析法,一次函数如何表示？,答案,答案 ykxb(k0).,用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式.,梳理,思考,知识点二 图象法,要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？,答案,答案 一图胜千言.,梳理,用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.,思考,知识点三 列表法
2、,在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字.设找的人序号为x，x1,2,3，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？怎样表示这种对应关系？,答案,答案 对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示.这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系.,梳理,用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法. 三种表示法的优缺点：,知识点四 分段函数,思考,某市规定出租车收费标准：起步价(不超过2 km)为5元.超过2 km时，前2 km依然按5元收费，超过2 km部
3、分，每千米收1.5元.按此规定乘坐出租车行驶任意一段路程，是否都有一个唯一的收费额与之对应？收费额y元是行驶里程x km的函数吗？当x0,2时的计费方法与x(2，)时计费方法一样吗？,答案 因为任一行驶里程x都对应唯一的收费额y，故y是x的函数；但由于起步价的规定，x0,2时，y5，x(2，)时，y5(x2)1.5.计费方法不一样.,答案,在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式.像这样的函数，通常叫做分段函数.,梳理,题型探究,例1 根据下列条件，求f(x)的解析式. (1)f(f(x)2x1，其中f(x)为一次函数；,解答,类型一 解析式的求法,解 由题意，设f(x)axb(a0)， f(
4、f(x)af(x)ba(axb)b a2xabb2x1，,所求函数解析式为,f(x)x22.,解答,f(x)x22，x(，22，).,(3)f(x)2f(x)x22x.,解答,解 f(x)2f(x)x22x， 将x换成x，得f(x)2f(x)x22x， 联立以上两式消去f(x)，得3f(x)x26x，,(1)如果已知函数类型，可以用待定系数法. (2)如果已知f(g(x)的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 tg(x)，然后把f(g(x)中每一个x都换成t的表达式. (3)如果条件是一个关于f(x)、f(x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值.如把每一个x换成x，其目的是再得到一个关于f(
5、x)、f(x)的方程，然后消元消去f(x).,反思与感悟,解析 由题意，设f(x)axb(a0)， 3f(x1)f(x)2x9， 3a(x1)3baxb2x9， 即2ax3a2b2x9，,跟踪训练1 根据下列条件，求f(x)的解析式. (1)f(x)是一次函数，且满足3f(x1)f(x)2x9；,解答,a1，b3. 所求函数解析式为f(x)x3.,解析 设x1t，则xt1， f(t)(t1)24(t1)1， 即f(t)t22t2. 所求函数解析式为f(x)x22x2.,(2)f(x1)x24x1；,解答,解答,例2 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.,
6、类型二 列表法及函数表示法的选择,解答,(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；,解 不能用解析法表示，用图象法表示为宜. 在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：,(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析.,解答,解 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.,函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示.,反思与感悟,跟踪训练2 若函数
7、f(x)如下表所示：,则f(f(1)_.,1,解析 f(1)2，f(f(1)f(2)1.,答案,解析,命题角度1 建立分段函数模型 例3 如图所示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象.,类型三 分段函数,解答,解 过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H.,所以BGAGDHHC2 cm， 又BC7 cm，所以ADGH3 cm.,(2)当点F在GH上，即x(2,5时，,(3)当点F在
8、HC上，即x(5,7时，,图象如图所示：,当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.,反思与感悟,跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算). 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.,解答,解 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20.,函数图象如图所示：,命题角度2 研究分段函数的性质,解答,32， f(3)32211，,(2)
9、若f(x0)8，求x0的值；,解答,解 当x02时，由2x08，得x04，不符合题意；,(3)解不等式f(x)8.,解答,已知函数值求变量x取值的步骤 (1)先对x的取值范围分类讨论. (2)然后代入到不同的解析式中. (3)通过解方程求出x的解. (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内. (5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来.,反思与感悟,(1)画出f(x)的图象；,解答,解 利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.,解答,解答,(3)求f(x)的值域.,解 由图象知，当1x1时，f(x)x2的值域为0,1， 当x1或x1时，f(x)1
10、. 所以f(x)的值域为0,1.,当堂训练,1.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3)_.,答案,2,3,4,5,1,1,2.如果二次函数的图象开口向上顶点坐标为(1，1)，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为_.,答案,2,3,4,5,1,f(x)(x1)21,3.已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为_.,答案,2,3,4,5,1,4.如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的 解析式为_.,答案,2,3,4,5,1,(1)求f(f(f(5)的值；,解答,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,解 因为54， 所以f(5)523. 因为3
11、0， 所以f(f(5)f(3)341. 因为014， 所以f(f(f(5)f(1)12211.,(2)画出函数f(x)的图象.,2,3,4,5,1,解 f(x)的图象如图：,解答,规律与方法,1.如何求函数的解析式 求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域.主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法). 2.如何用函数图象 常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题.,3.对分段函数的理解 (1)分段函数是一个函数而非几个函数. 分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集. (2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.,本课结束,
