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1、1.1.3 导数的几何意义,第一章 1.1 导 数,学习目标 1.理解导数的几何意义. 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点 导数的几何意义,割线PPn的斜率kn是多少？,答案,如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4，)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线,思考2,当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn与在点P处的切线PT有什么关系？,答案,答案 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn趋近于在点P处的切线PT.,思考3,当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？,答案,答
2、案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.,(1)曲线的切线 设函数yf(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0)与点B(x0x， f(x0x)的一条割线.由此割线的斜率是 ，可知 曲线割线的斜率就是函数的 .当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线.,梳理,平均变化率,(2)函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义 几何意义：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率等于 ； 曲线在点(x0，f(x0)处切线的斜率为,相应的切线方程为 .,yf(x0)f(x0)(xx0),f(x0),题型探究,例1 已知曲线C：
3、求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程.,解答,类型一 求切线方程,命题角度1 曲线在某点处的切线方程,ky|x24. 曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.,解 将x2代入曲线C的方程，得y4， 切点坐标为P(2,4).,求曲线在某点处的切线方程的步骤,反思与感悟,跟踪训练1 曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_.,3,答案,解析,ky|x24.曲线yx21在点(2,5)处的切线方程为y54(x2)， 即y4x3. 切线与y轴交点的纵坐标是3.,解答,命题角度2 曲线过某点的切线方程,化简得14x4y490或2x4y10， 即所求的切线方程为14
4、x4y490或2x4y10.,过点(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x0，f(x0).,反思与感悟,(3)解方程得kf(x0)，由x0，y0，及k, 从而写出切线方程.,跟踪训练2 求过点(1,0)与曲线yx2x1相切的直线方程.,解答,解 设切点为(x0，x01)，,解得x00或x02. 当x00时，切线斜率k1，过点(1,0)的切线方程为 y0x1，即xy10.,当x02时，切线斜率k3，过点(1,0)的切线方程为y03(x1)，即3xy30. 故所求切线方程为xy10或3xy30.,类型二 求切点坐标,解答,例3 已知曲线yx21在xx0处的切线与曲线y1
5、x3在xx0处的切线互相平行，求x0的值.,解 对于曲线yx21，,对于曲线y1x3，,解答,引申探究 1.若本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值.,又曲线yx21与y1x3在xx0处的切线互相垂直，,解答,2.若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程.,当x00时，两条平行的切线方程为y1或y1.,曲线y1x3的切线方程为36x27y110. 所求两条平行的切线方程为y1与y1或12x9y130与36x27y110.,根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求导函数f(x). (3)求切线的斜率f(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程
6、求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标.,反思与感悟,跟踪训练3 已知直线l：y4xa与曲线C：yf(x)x32x23相切，求a的值及切点坐标.,解答,解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0).,当切点坐标为(2,3)时，有342a，a5.,当a5时，切点坐标为(2,3).,类型三 导数几何意义的应用,例4 已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图所示，记k1f(1)，k2f(2)，k3f(2)f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为_.(请用“”连接),答案,解析,k1k3k2,解析 由导数的几何意义，可得k1k2.,导数几何意义的综
7、合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合.,反思与感悟,跟踪训练4 若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是,解析,解析 依题意，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足.,答案,当堂训练,1.若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则 A.a1，b1 B.a1，b1 C.a1，b1 D.a1，b1,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 由题意
8、知，ky|x0,又(0，b)在切线上，b1，故选A.,2.已知yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是 A.f(xA)f(xB) B.f(xA)f(xB) C.f(xA)f(xB) D.不能确定,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 由导数的几何意义知，f(xA)，f(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f(xA)f(xB).,2,3,4,5,1,3.如图，函数yf(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)f(2)等于 A.4 B.3 C.2 D.1,答案,解析,解析 由图象可得函数yf(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于(4,0)，与y轴交
9、于(0,4)， 则可知l：xy4， f(2)2，f(2)1， 代入可得f(2)f(2)1，故选D.,4.已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为_.,2,3,4,5,1,答案,(3,30),解析,令4x0416，得x03，P(3,30).,5.已知抛物线yax2bxc过点P(1,1)，且在点Q(2，1)处与直线yx3相切，求实数a，b，c的值.,解答,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,解 抛物线过点P，abc1， ,y|x24ab，4ab1. 又抛物线过点Q，4a2bc1， 由解得a3，b11，c9.,规律与方法,1.导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即 物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值.,3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.,本课结束,
