曲率与其计算公式

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1、,39 曲 率,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,有向弧段的值、,弧微分公式,曲率、,曲率的计算公式,曲率圆曲率半径,一、弧微分,s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的 正向一致时s0，相反时s0,s0,s0,显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数,设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是,下面来求s(x)的导数及微分,1，,因为,因此,由于ss(x)是单调增加函数，从而,于是 ds ,这就是弧微分公式,观察曲线的弯

2、曲线程度与切线的关系：,二、曲率及其计算公式,可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，,设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧 为Ds ，切线的转角为Da ,平均曲率：,曲率：,曲率的计算公式：,设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数,于是,从而，有,因为tan a y ，所以,例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率,解,因此，y|x11，y|x12,曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为,例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？,解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，,代入曲率公式，得,要使K 最大，只须

3、2axb0，,抛物线的顶点因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| ,对应的点为,2若曲线由参数方程,给出，那么曲率如何计算？,1直线上任一点的曲率等于什么？,讨论：,提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0于是,提示：,曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系：,曲线在M点的曲率中心,三、曲率圆与曲率半径,M,y=f(x),D,r,曲线在M点的曲率半径,曲线在M点的曲率圆,例3 设工件表面的截线为抛物线y04x 2现在要用砂轮 磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？,解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径,例3 设工件表面的截线为抛物线y04x 2现在要用砂轮 磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？,y08x ，y08， y|x00，y|x008,抛物线顶点处的曲率半径为,所以选用砂轮的半径不得超过125单位长，即直径不得超过 250单位长,08,把它们代入曲率公式，得,