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1、 初中几何十大模型 模型，可理解为数学定理（培训辅导机构总结归纳出来 的定理） 。但是不是课本上出现的定理，故不能在证明题中 直接使用其结论（需要证明一遍） 。模型主要作用还是简化 图形，为证明或者添加辅助线提供思路。 一、 中位线模型 多个中点构造中位线 【例】 在 RtABC 中，F 为斜边 AB 的中点，D、E 分别在边 CA、CB 上， 且满足DFE=90，AD=3，BE=4，求线段 DE 长度 如图，在五边形ABCDE中， 90ABCAED= =，BACEAD= ，F为CD 的中点求证：BF EF= E DFC B A 1 二、 角平分线模型 角平分线定理 角平分线+垂线=等腰三角形
2、 角分线+平行线=等腰三角必呈现 角平分线+垂线=等腰三角形 【例】如图所示，ABC 中，A=60，BD、CE 是ABC 的角平分 线，交于 F 点，求证：DF=EF 三、 三垂直模型与弦图 【例】在平面直角坐标系中，A（0,3） ，点 B 的纵坐标为 2，点 C 的 纵坐标为 0，当 A、B、C 三点围成的等腰直角三角形时，求 B、C 坐 标。 D E F B A C 2 四、 手拉手模型 【例】在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD 和BCE，连 接 AE 与 CD，证明： （1） ABEDBC （2） AE=DC （3） AE 与 DC 的夹角为 60。 （4） AGBDFB （
3、5） EGBCFB （6） BH 平分AHC （7） GFAC 五、 倍长中线与婆罗摩笈多模型 倍长中线、倍长类中线、中点遇平行延长相交 条件： 1、两个等腰三角形 2、顶角相等 3、顶点重合 结论： 1、手相等 2、三角形全等 3、手的夹角相等 4、顶点连手的交点得平分 H F G E D A B C 3 【例】如图， 向ABC的外侧作正方形ABDE、ACFG. AD为ABC中线 求 证：ADEG 六、 弦图与婆罗摩笈多模型 【例】如图，向 ABC的外侧作正方形ABDE、 ACFG 过A作AHBC于H，AH与EG交于P 求证： EP PG=， 2BCAP= 七、 将军饮马模型 费马点 “费马
4、点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。 这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。 H G E F D A B C G A B C D E F H P 4 1.若三角形 3 个内角均小于 120， 那么 3 条距离连线正好三等分费马点所在的周 角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为 120。所以三角形的费马点也称 为三角形的等角中心。 2.若三角形有一内角大于等于 120，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。 垂足三角形 锐角三角形三条高的垂足形成的三角形。 锐角三角形的所有内接三角形中，垂足三角形的周长最短。 【例】在ABC 中，A=45，B=60，AB=10，D、E、F
5、分别是 BC、AC、AB 上的点，求DEF 的周长最小值. 八、 半角模型 C B A D E F 5 【例】在正方形 ABCD 中，EAF=ECF=45，求证：BE 与 DF 平行或共线；阴影部分面积相等 九、 边边角模型 如图，AC=AB，BD=CE 得 EF=DF E F C D B A 辅助线思路： 作垂线/平行线 6 【例】已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处 （1）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连结 AP、OP、OA 求证：OCPPDA； 若OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长； （
6、2）若图 1 中的点 P 恰好是 CD 边的中点，求OAB 的度数； （3）如图 2，在(1)的条件下，擦去折痕 AO、线段 OP，连结 BP动点 M 在线 段 AP 上 （点 M 与点 P、 A 不重合） ， 动点 N 在线段 AB 的延长线上， 且 BN=PM， 连结 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当点 M、N 在移动过程中，线 段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 EF 的长度 十、 截长补短模型 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方 法，也是把几何题化难为易的一种思想。常用于证明不在同 一条直线的几条线段的数量关系，形如 a+b=c。 截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上 延长，使其等于一条所求边。截长常用的方法：1.过某一点 作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段， 再证剩下的线段与另一短边相等。补短常用的方法：1.延长 短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。 7 【例】 如图，BDE 为等边三角形，A 在 BE 延长线上，C 在 BD 延长线上，且 AD=AC，求证：DE+DC=AE 已知：如图，中，是外一点且 求证： ABCABAC=DABC 60ABDACD= = BDCDAB+= A B C D C E A B D 8
