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1、 1 高中数学易错、易混、易忘题分类汇编 “会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何 解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学 生在考试中常见的 66 个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、 怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实 存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考 中乘风破浪，实现自已的理想报负。 【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维
2、不全面。 高中数学易错、易混、易忘题分类汇编 “会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何 解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学 生在考试中常见的 66 个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、 怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实 存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考 中乘风破浪，实现自已的理想报负。 【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致
3、思维不全面。 例1、 设例1、 设 2 |8150Ax xx=+=，|10Bx ax= =，若，若ABB=I，求实数 a 组成的集 合的子集有多少个？ 【易错点分析】此题由条件 ，求实数 a 组成的集 合的子集有多少个？ 【易错点分析】此题由条件ABB=I易知易知BA，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极 易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a 值产生漏解现象。 解析：集合 A 化简得 ，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极 易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a 值产生漏解现象。 解析：集合 A 化简得3,5A =，由，由ABB=I知知BA故（）当故（）当B=时，即方程时
4、，即方程10ax =无 解，此时 a=0 符合已知条件（）当 无 解，此时 a=0 符合已知条件（）当B时，即方程时，即方程10ax =的解为 3 或 5，代入得的解为 3 或 5，代入得 1 3 a =或或 1 5 。 综上满足条件的 a 组成的集合为 。 综上满足条件的 a 组成的集合为 1 1 0, 3 5 ，故其子集共有，故其子集共有 3 28=个。 个。 【知识点归类点拔】 （【知识点归类点拔】 （1） 在应用条件 AB） 在应用条件 ABABAB时， 要树立起分类讨论的数学思想，时， 要树立起分类讨论的数学思想， 将集合是空集的情况优先进行讨论 将集合是空集的情况优先进行讨论 （2
5、）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限 制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数 学语言）和自然语言之间的转化如：学语言）和自然语言之间的转化如：() 22 ,|4Ax yxy=+=， () ()() 22 2 ,|34Bx yxyr=+=，其中，其中0r ,若,若AB=I求 r 的取值范围。将集合所表达求 r
6、的取值范围。将集合所表达 的数学语言向自然语言进行转化就是：集合 A 表示以原点为圆心以 2 的半径的圆，集合 B 表示以（3，4）的数学语言向自然语言进行转化就是：集合 A 表示以原点为圆心以 2 的半径的圆，集合 B 表示以（3，4） 为圆心，以 r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径 r 的取值范围。思维马上就可利为圆心，以 r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径 r 的取值范围。思维马上就可利 用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 【练 1】已知集合
7、【练 1】已知集合 2 |40Ax xx=+=、() 22 |2110Bx xaxa=+ =，若，若BA， 则实数 a 的取值范围是 ， 则实数 a 的取值范围是 。答案：。答案：1a =或或1a 。 。 【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。 【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。 例 2、已知例 2、已知() 2 2 21 4 y x+=,求,求 22 xy+的取值范围 【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函数最值求解，但极易忽略 x、 y 满足 的取值范围 【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转
8、化为关于 x 的函数最值求解，但极易忽略 x、 y 满足() 2 2 21 4 y x+=这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。 这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。 2 解析：由于解析：由于() 2 2 21 4 y x+=得得(x+2)(x+2) 2 2=1- =1- 4 2 y 1，1，-3x-1-3x-1从而从而x2+y2=-3x2-16x-12= + 3 28 因此当因此当x=-1x=-1时时x x 2 2+y +y 2 2有最小值1, 当x=- 有最小值1, 当x=- 3 8 时，时，x x 2 2+y +y 2 2有最大值 有最大值 3 28 。
9、 故。 故x x 2 2+y +y 2 2的取值范围是1, 的取值范围是1, 3 28 【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件() 2 2 21 4 y x+=对 x、y 的限制，对 x、y 的限制， 显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3x-1，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3x-1，22y 。此外本题还可通过三角换元。此外本题还可通过三角换元 转化为三角最值求解。 转化为三角最值求解。 【练 2】 （05 高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线【练 2】 （05 高考重庆卷）若动点（x,
10、y）在曲线 22 2 1 4 xy b +=()0b 上变化，则上变化，则 2 2xy+的最大值为 （） （A） 的最大值为 （） （A） () () 2 4 04 4 24 b b b b + 即函数的定义域为即函数的定义域为()()1,00,1U定义域关于原点对称， 在定义域下 定义域关于原点对称， 在定义域下( ) () 2 lg 1x f x x = 易证易证()( )fxf x= 即函数为奇函数。 即函数为奇函数。 【知识点归类点拔】 （【知识点归类点拔】 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不
11、充分条件，因此在判断 函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。 （2）函数）函数( )f x具有奇偶性，则具有奇偶性，则( )()f xfx=或( )()f xfx= 是对定义域内是对定义域内 x 的恒等式。常的恒等式。常 常利用这一点求解函数中字母参数的值。 常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【练 5】判断下列函数的奇偶性：练 5】判断下列函数的奇偶性： ( ) 22 44f xxx=+( )() 1 1 1 x f xx x + = ( ) 1sincos 1sincos xx f x xx + = + 答案：既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数非奇
12、非偶函数 答案：既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数 【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。 【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。 例例6、 函数、 函数( ) 22 21 2 11 log 22 x x f xxx + = 或的反函数为的反函数为( ) 1 fx ， 证明， 证明( ) 1 fx 是奇函数且在 其定义域上是增函数。 是奇函数且在 其定义域上是增函数。 【思维分析】可求【思维分析】可求( ) 1 fx 的表达式，再证明。若注意到的表达式，再证明。若注意到( ) 1 fx 与与( )f x具
13、有相同的单调性和奇偶性， 只需研究原函数 具有相同的单调性和奇偶性， 只需研究原函数( )f x的单调性和奇偶性即可。的单调性和奇偶性即可。 解析：解析：() 212121 212121 222 logloglog xxx xxx fx + + = ( )f x= ，故，故( )f x为奇函数从而为奇函数从而( ) 1 fx 为 奇函数。 又令 为 奇函数。 又令 212 1 2121 x t xx = + 在在 1 , 2 和和 1 , 2 + 上均为增函数且上均为增函数且 2 log t y =为增函数， 故 为增函数， 故( )f x在在 1 , 2 和和 1 , 2 + 上分别为增函数
14、。 故上分别为增函数。 故( ) 1 fx 分别在分别在()0,+和和(),0上分别为 增函数。 上分别为 增函数。 【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论： （【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论： （1）定义域上的单调函数必有反函数。 （）定义域上的单调函数必有反函数。 （2）奇函数）奇函数 的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。 （的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。 （3） 定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。） 定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。 （4）周期函数不存在反函数（）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数
15、的定义域和值域到换。即）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即 1( ) ( )fbaf ab =。 【练【练 6】 （】 （1） （） （99 全国高考题）已知全国高考题）已知( ) 2 xx ee f x = ，则如下结论正确的是（），则如下结论正确的是（） 5 A、 ( )f x是奇函数且为增函数是奇函数且为增函数 B、( )f x 是奇函数且为减函数是奇函数且为减函数 C、 ( )f x是偶函数且为增函数是偶函数且为增函数 D、 ( )f x是偶函数且为减函数是偶函数且为减函数 答案：答案：A （2） （） （2005 天津卷）设天津卷）设( ) 1 fx 是函数是函数 ( )()() 1 1 2 xx f xaaa =的反函数，则使的反函数，则使( ) 1 1fx 成立的成立的x 的取值范围为（）A、的取值范围为（）A、 2 1 (,) 2 a a + B、 B、 2 1 (,) 2 a a C、 C、 2 1 (, ) 2 a a a D、 D、( ,)a + 答案： 答案：A （1a 时，时， ( )f x 单调增函数，所以单调增函
