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1、解答 第 1 页 2016 级第一学期高等数学期中试卷解答及评分标准 A A 类：类： 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 数列极限 sin lim sin n nn nn （ D ） （A）不存在； （B）等于1； （C）等于0； （D）等于1。 2. 当0x 时，x与 2 1cos cos2 x exx是同价无穷小，则 （ A ） （A）1； （B）2； （C）3； （D）5。 3. 已知曲线C由极坐标方程r（02 ）所确定，P是C上对应于 2 的点。那么C在P点处的切线方程为 （ C ） （A） 2 r ； （B）1yx； （C） 2 2 yx ； （D）1 2 yx
2、。 4. 设( )f x在区间 , a b上具有连续的二阶导函数，且( , )xa b ，满足 ( )( )0fx fx，则( )f x在区间( , )a b上 （ B ） （A）保号； （B）单调； （C）存在极值； （D）存在拐点。 5. 已知函数( )f x在点 0 x的某个邻域内有定义，对于两个命题 （I）( )f x在点 0 x可导当且仅当cos( ( )f x在点 0 x可导； （II）( )f x在点 0 x可导当且仅当arctan( ( )f x在点 0 x可导， 下列选项正确的是 （ B ） （A）仅（I）正确； （B）仅（II）正确； （C） （I）和（II）都正确； （D
3、） （I）和（II）都错误。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6. 已知定义在R上的函数( )f x严格单调增加， 1( ) fx 是其反函数。若对于常数 a，方程( )f xxa有解 1 x， 1( ) fxxa 有解 2 x，则 12 xxa。 7. 已知 2 cos ,0 ( ) ln(1),0 xx f x xx ，则( )fx 2 sin ,0 2 0, 1 xx x x x 。 8. 若 2x yx，则dy 2 2(ln1) x xxdx。 9. 已知 2 2 ex x y ，则 (10)( 1) y 1 10!e 5! ，或 51 29! e。 10. 函数 2 1
4、( )max, 2(2) x f x xx x 在区间(0,)上的最小值等于 1 3 。 解答 第 2 页 三、 （每小题 8 分，共 16 分） 11. 用极限定义验证： 2 2 2 lim2 34 x x xx 。 证明 0 ， 14 max 8,0X ，x：xX时， （3 分） 2 22 2 682714 2 1 3434 2 xxx xxxxx x ， 所以 2 2 2 lim2 35 x x xx 。 （8 分） 12. 计算极限 2 2 0 1e1 lim x x xx x 。 解 22 222 00 1e11ee ( 11) limlim xx xx xxxx xx 2 2 2
5、0 1e1 lime 2 x x x x （3 分） 2ln(1) 2 22 0 e11 e lime 2 x x x x 22 2 0 ln(1)1 2e lime 2 x xx x （6 分） 2 3 e 2 。 （8 分） 四、 （每小题 8 分，共 16 分） 13. 已知( )yy x是由方程 223 2xyxy所确定的二阶可导函数，求(1) y 。 解 322 2(1)(1)1( (1)1)(2(1)(1)1)0yyyyy (1)1y， （2 分） 32 2226xyyyxy y (1)0y, （5 分） 22222 1 ( )3 3 6( )3yyyy yy yxy yxy y
6、1 (1) 2 y。 （8 分） 14. 长度为50米的绳子通过一个定滑轮P将货车A和B（货车高度忽略不计）连 接在一起。滑轮到地面的垂足是点Q，PQ的长度等于12米。在某个时刻 0 t，货 车A在距离Q点5米处以2米/秒的速度远离Q点， 此时货车B的运动速度等于多 少？ 解 设( )s tAQ，( )l tBQ，则 2222 ( )12( )1250s tlt （3 分） 由 0 ( )5,s t 得到 0 ( )35,l t B A P Q 12m 5m 解答 第 3 页 等式关于t求导，并令 0 tt，得到 0000 2222 00 ( ) ( )( ) ( ) 0, ( )12( )1
7、2 s t s tl t l t stlt （6 分） 22 000 0 22 00 ( ) ( )( )12523774 ( ) 35 1391 ( )( )12 s t s tlt l t l tst ， 所以货车B的运动速度是 74 91 米/秒，方向是 B 指向Q点的方向。 （8 分） 五、 （第 15 题 8 分，第 16 题 10 分，共 18 分） 15. 已知函数( )cosf xxax（1a ）在区间(0,2 )中存在极小值0，问：( )f x在 (0,2 )中是否存在极大值？若有，求该极大值。 解 ( )1sin0fxax 0 1 arcsin(0,) 2 xx a ， 0
8、 (, ) 2 xx ； （2 分） ( )cosfxax ， 0 ()0fx， 0 ()0fx ， 所以极小值为 0 ()fx，极大值为 0 ()f x。 （5 分） 因为 00000 0()cos()cosfxxaxxax， 所以， 000 ()cosf xxax ，即( )f x在(0,2 )中存在极大值。 （8 分） 16. （1）证明：n Z，k Z，使得 113 !e 11(1)(2) knk nnnn ； （2）求极限lim sin(2!e) n nn 。 证 （1）n Z： 1 2 01 1e e !(2)! x n xkn ix xx in （01） ， （2 分） 0 11
9、e !e! !1(1)(2) n i nn innn 。 取 0 1 ! ! n i kn i Z，则 113 !e 11(1)(2) knk nnnn 。 （5 分） （2）当n充分大时， 226 2!e(2, 2) 11(1)(2) nkk nnnn (2, 2) 2 kk , 故 226 sin()sin(2!e)sin() 11(1)(2) nnnn nnnn ， （8 分） 由于 226 sin(), sin()2 , , 11(1)(2) nnn nnnn 所以lim sin(2! )2 n nn e 。 （10 分） 解答 第 4 页 O y x (1,e) 六、 （本题 12
10、分） 17. 全面讨论函数 ex y x 的性态，并作出它的图形。 （ 2 (1)exx y x ， 2 3 (22)exxx y x ） 解 定义域为0R，非奇非偶，非周期； 0 1yx ； 0y； 0 lim ( ) x y x 垂直渐近线：0x ； ()0y 水平渐近线：0y ； 无斜渐近线。 （4 分） 函数性态： x (,0) 0 (0,1) 1 (1,) y y y ， 间断 ， 极小 ， 极小值(1)ey，无拐点； （10 分） 函数简图： （12 分） 七、 （本题 8 分） 18. 已知函数( )f x和( )g u满足 , f Da b， , gf DRc d。又( )f
11、x连续且存在 反函数。证明： (1) ( )f x仅在区间 , a b的端点处取到最值； (2) 若函数( ( )g f x在( , )a b内不存在极大值，则( )g u在( , )c d内也不存在极大值。 证明 (1) 若( )f a既非最大值又非最小值，则存在 12 ,( , x xa b，使得 12 ()( )()f xf af x。 （2 分） 不妨设 12 xx，则 12 ,fC x x，故 312 (,)xx x，使得 3 ()( )f xf a， 这与( )f x存在反函数(单射函数)矛盾，所以( )f a是( )f x的最值。 同理可证，( )f b也是( )f x的最值。
12、（4 分） 由于( )f x是单射函数，故( ), ( )f af b是最大、最小值 (或最小、最大值)，且 解答 第 5 页 ( , )a b内没有最值点。 (2) 由(1)，不妨设( )min( ) a x b f af x ，则对于任意的 22 :xaxb，有 2 ()( )f xf a。 因为( )f x在 2 ,a x上连续且存在反函数，再次由（1）得到 2 2 ()min( ) a x x f xf x ， 且对于任意的 112 :xaxx成立 12 ( )()f xf x， 所以( )f x在区间 , a b上严格单调增加。 （6 分） 设( )g u在 0 ( , )uc d处
13、取到极大值，则存在 0 (, )( , )U uc d，当 0 (, )uU u时， 0 ( )()g ug u。 记 1 00 ()xfu ， 则 11 00 (),()fufu 包含 0 x的邻域 01 (,)U x， 且 01 (,)xU x ， 0 ( )(, )f xU u，从而 00 ( ( )( )()( ()g f xg ug ug f x， 即 0 ( ()g f x是( ( )g f x的极大值，这矛盾。 （8 分） B 类：类： 15：D，A，C，B，B. 6. a, 7. 2 sin ,0 2 0, 1 xx x x x , 8. 2 2(ln1) x xxdx, 9. 4, 10. 2. 11. 同 A 类 11 题。 12. 计算极限limarctan 41 x x x x 。 解 1 由于 1 1 1 tan(arctan), 4121 1 1 x x x x xx
