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1、高三理科数学第 1页 （共 6 页） 20182019 学年上期中考学年上期中考 高三理科数学高三理科数学参考答案参考答案 一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目 要求的要求的 题号题号123456789101112 答案答案AACBBCADCBBC 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13114 5 8 15 135164 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算
2、步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17解析:（）因为 1 122 .(21) 31 n nn a ba ba bn 所以 1 1 1 122 2, 26, a b a ba b 所以 22 24.a b 又 12 2,8bb,解得 12 1,3aa, 因为数列 n a是以 1 为首项，以 2 1 3 a a 为公比的等比数列， 所以数列 n a的通项公式为 1 3n n a ， n a的前n项和 1 331 1 32 nn n S 6 分 （）由（1）知 1 3n n a 及 1 122 .(21) 31 n nn a ba ba bn 得 1 12 3.3(21) 31 nn n
3、 bbbn 当2n时， 21 121 3.3(23) 31 nn n bbbn 得， 11 343 nn n bn 所以2n ，4 n bn 又当1n 时, 1 2b ， 所以数列 n b的通项公式为 2,1, 4 ,2. n n b n n 12 分 高三理科数学第 2页 （共 6 页） 18解析： （1）证明：因为 11 AAAC，且O为AC的中点，所以 1 AOAC, 又因为 11 AAC CABC平面平面， 11 =AAC CABC AC平面平面， 又 111 AOAAC C 平面，所以 1 AOABC 平面.4 分 （2）如图，以O为原点，,OB OC OA所在直线为x轴，y轴，z轴
4、建立空间直角坐标系 由已知可得 11 (0,0,0),(0, 1,0),( 3,0,0),(0,0,3),(0,2,3)OABAC， 所以 111 ( 3,1,0),( 3,0,3),(0,2,0)ABA BAC ， 设平面 11 ABC的法向量为( , , )x y zn， 则有 20, 330, y xz 取1x ，得(1,0,1)n， 36 cos,| 4|2 2 AB AB AB n n | |n| 设直线AB与平面 11 ABC所成角为，则 6 sin|cos,| 4 AB n 所以设直线AB与平面 11 ABC所成角的正弦值为 6 4 12 分 19解： （1）孙先生租用一次新能源
5、分时租赁汽车，为“路段畅通”的频率为 4162 505 ， 视频率为概率，孙先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率为 2 5 X的所有可能取值为0,1,2,3,4则X服从二项分布 2 (4,) 5 B，所以 004 4 2381 (0)( ) ( ) 55625 P XC； 113 4 23216 (1)( ) ( ) 55625 P XC； 222 4 23216 (2)( ) ( ) 55625 P XC； 331 4 2396 (3)( ) ( ) 55625 P XC； 44 4 216 (4)( ) 5625 P XC 所以X的分布列为 X01234 P 81 625
6、216 625 216 625 96 625 16 625 高三理科数学第 3页 （共 6 页） X的期望值为 28 ()4 55 E Xnp8 分 （2）孙先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间为t，则 41618102 253545556543 5050505050 t （分钟） ， 每次上下班租车的费用约为43 0.521.5（元） 一个月上下班租车总费用约为21.5 2 22946 （元） ， 因为9461000，估计孙先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用12 分 20解析： （1）由已知得1c ， 22 1ab 将点 3 ( 3,) 2 代入椭圆方程，得 22
7、33 :1 4ab ， 解得 22 4,3ab， 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy 4 分 （2）当直线AB的斜率不存在时，易知| 3,| 2ABOMABOM，|， 1 | | 3 2 OAMB SABOM； 当直线AB的斜率存在时，可设直线AB的方程为ykxm， 代入 22 1 43 xy 消去y，得 222 (34)84120kxkmxm， 由 22222 (8)4(34)(412)48(43)0kmkmkm ，得 22 430km ， 设 112233 ( ,), (,),(,)A x yB xyM xy，则 2 1212 22 8412 , 3434 kmm xxx x kk
8、， 由OM OAOB ，得四边形OAMB为平行四边形，且 312312 ,xxxyyy， 所以 3312 22 86 ,()2 3434 kmm xyk xxm kk ， 因为点M在椭圆上，所以 22 22 1816 ()()1 434334 kmm kk 化简，得 22 344km 高三理科数学第 4页 （共 6 页） 222 121212 222 2 2 |1|1()4 4 3(34)3 1 1 34| ABkxxkxxx x kmk k km 又原点到直线AB的距离为 2 | 1 m d k ， 所以，四边形OAMB的面积为 2 2 |3 1 2|3 | 1 OAMBOAB mk SSd
9、AB m k 综上，四边形OAMB的面积为 312 分 21解： （1）方程 2 7 ( ) 3 f xxxm即为 2 7 ln 3 xxxm 令 2 7 h( )ln(1,3) 3 xxxx x，则 17(31)(23) ( )2 33 xx h xx xx 由( )0h x ，得 3 2 x 当 3 (1, ) 2 x时，( )0h x ；( )h x单调递增；当 3 ( ,3) 2 x时，( )0h x ；( )h x单调递减 又 43534 (1),( )ln,(3)2ln3 32423 hhh 所以( )h x的取值范围是 53 2ln3,ln 42 所以m的取值范围是 53 2ln
10、3,ln 42 6 分 （2）令( )( )( )eln1(0) x F xg xf xxxxx， 根据题意，得( )( )ag xf x对(0,)x 恒成立，等价于 min ( )aF x 令 11 ( )(1) e1(1)(e) xx F xxx xx 令 1 ( )e(0) x G xx x ，显然( )G x在(0,)上递增 因为 1 ( )e20,(1)e10 2 GG ，所以( )G x存在唯一的零点(0,1)c， 高三理科数学第 5页 （共 6 页） 且当(0, )xc时，( )0G x ，( )0F x；当( ,)xc时，( )0G x ，( )0F x 所以( )F x在(0
11、, ) c上递减；在( ,)c 上递增从而 min ( )( )eln1 c F xF cccc 由于( )0G c ，即 1 ec c ，所以lncc 所以 min ( )( )0F xF c， 所以0a ，即a的取值范围是(,0 12 分 22.（1）将 2 2 2 () 2 1 2 xt t yt 为参数消去参数t 直线l的普通方程为30xy 由2 2 cos() 4 a ，得 2 2(cossin )a， 将 222, cos ,sinxyxy代入上式，得 22 22xyaxay， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 220xyaxay5 分 (2)将直线l的参数方程代入 22 220x
12、yaxay，消去, x y得 2 2560tta ， 设,M N两点对应参数分别为 12 ,t t，则 121 2 2,56ttt ta ， 因为 2 | |MNPMPN，所以 2 121 2 ()5|ttt t， 2 121 21 2 ()45|ttt tt t 又 5 6 a ，所以 1 2 0t t ， 所以 2 121 2 ()0ttt t 从而 2 (2)(56 )0a，解得 7 6 a ，符合题意 所以 7 6 a 10 分 高三理科数学第 6页 （共 6 页） 23解： （1）当0a 时， 23,2, ( ) |1|2|1, 21, 23,1 xx f xxxx xx ， 当2x 时，不等式( )31f xx， 即2331xx ， 4 5 x ，矛盾，此时无解； 当21x 时，原不等式可化为131x，即0x ，此时无解； 当1x 时，原不等式可化为2331xx，解得2x ， 综上所述，原不等式的解集为 |2x x 5 分 （2）当 1, )xa 时，( )( )f xg x等价于|21|231xaxx ， 即|21| 21xax ，所以21212121xaxxax 或 即 2 22 3 a xax或对于 1, )xa 恒成立 所以 2 1221 3 a aaa 或，解得 2 1 3 a 综上所述：a的取值范围是 2 ( 1, 3 10 分
