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1、关于复合函数高阶导数的一般公式 宋 柏生 (东南大学) 微积分中 , L 。公 b n 众给出了 两个函数乘积高阶导数的一般公式 , 对于复合函数f (G ( t ) )的高阶导数有许多文章作过研究 一4 , 得到了 Fa a Di刀l un o求导公式 。 作者应用泛函方法推导并论证了多变量情况下复合函数高阶导数的一般公式 。 设P是在实数域或复数域上变量 x , , 的多项式 的代数 , P * 是关于P的线性泛函的对 偶空间 , 记为线性泛 函L作用于多项式p( x , 功 , 对每个非负整数K 、 K , 、 K : 定义 ( A k x n = n !占 。k, 二川占 。、, (A
2、k B kZ ! x u, 夕 愧: 二 , ; ! :2 】占 n: k I f=声 。 。: k , 其中 占11= 卜 二 , 把A k,Bk, 扩充为多项式 。 从0 2沪夕 = 习 a、,kZ 当K , , 尤 : 中有一个 卜r 户 k : , k : 二 0 不为整数 , (A众 , Bk : p( x , 万) 二o 引理 1 若L是关于P的线性泛函 , 则 L二艺 k x , k =0k l! k : r Ak 一B k (1) 由引理l , 若L , M是( 1)的形式确定的泛函 , 则 刀l刀2 二 习习 k l二0 k Z一 0 / 九: !)(Ml x U,一k, 2
3、一“2 火k : / 、 12 / 工,几 九 ,尤 / / |、 仁 结果可推广 到有限个L : L Z 匀,的情况 。 . ,J _ 、 , , 、, _ 。 口L口f口L日f 、 对五一f (A , 丑)形式 上的 导数 漏 一 云 戈 , 汤 一 能 有 . 引理 2 若L=f (A , B)是关于P的线性泛 函 , 则对所有多项式P( x , 功 _ af ,、 、 _, f , , 。、 l *, _ _八 、 夭飞污 I F火X , 万)尸一气了气入 , 。少x F、x , 梦少 / U才主】 口子 ,、 、, ,月 二 、 _ 、 , _ 二、 、 二 、 aB 老 、“刀产
4、一 一 J 、 一 一 “” 一 “ (2) (3) 引理的证明从略 。 定理若 了扭 , 的 , G( x , y ) , g 阮 , 功对所需的各阶导数都有意义 , 则 D x ”, D, 傀: f(G( x , , ) , g(x , 窗)“ 灯z + 刀2 艺 k 二I k 艺f : :k: 艺 + k么 巴k 作1 互 九2 里 k 。 : 卜 k 山1万可)不二 再石石八 气 门 / 百.、 ,上 |G 了鱼二丫 。 0!1! / ( 4 ) : !n Z !) k 一(矗 计) h 。 (忽;) h “, 其中fk ,、。= = DG k D :k 汀 ,:J: 二D不k I D
5、 ,k G, gk ;k: ”D 二kD yk : g , 习是取遍 尤 。 , + K , 。+ (k ij+ hij) + K 。 一:,:= K r,h 。, + h ; 。+ + h ., nZ = = k : 且习 ; (k ;i+ hij) 二 ,:, 习i 证明 : = 722 0 L 设 hk :女: = D 二k; D 万k : f , k :+ k Z= k , 则 九x+刀2= h ln : 、, : 二 习 k 二I k 刀 艺 + k : = k f k ,k: L *,。Z k(G 。 ;, , G 。:,:, g 。、, , g :、。 : ) , (5) 为确定
6、L J、, ,n : , : , 选择f(G(二 , ,), 丸l+月2 g (劣 , 岁) =e“G(义 , y)土bg(x , ), 令 Bn 1nZ= = n e一 “G (“ ,y) 一(“ , y, h ,、2 = 艺 艺 ak: b Z L 。;,n Z: (G 。:, , g 。1石: ) , k = 1k z+ k Z二 无 由 Lb,fg公 式可得 。 ”,一 / n: / 及 !: = 万 一艺 k=o h二0k/ 刀么一1 ) ( aG、,卜不,+ bg : , h军l )B ,. 2一! . , 1,2一!一10 h (6) 牡1一1 及 B 。:。: = 艺 无 =0
7、 琶 ”一 丫 ” h 二0 k/ h ( aG:落;, !,+ bg 。不 , h)卫 :一:一卜,。2一IL . (7) 周 、 飞 .1 / 固定( x , 万), 线性泛函 。 B ,。: (x , 红)二B 。:,。 :, G k、(x , 夕) = = G 、r, gkh(x , 夕)=gkh 定义关于P的 = B ,;、2, (M!x n , , n Z 因 二丑。二 1 , = G 。 。 二认 = C nl。:, 及 L B 、 Ik: 二 习 ,竺 气 _ 竺 k 一k:01:2 才 : 召肠 , M = k l 艺 k Z 0 召 、一、z 1: 1 !I :2 ! A
8、卜一BkZ , 二g 、:。 : = g 。 。二 g 、 : _ 寻 gk 、k:, . 。 、 。 N = 艺户 任 专 二 舟A k:B、2 一 L 尸 。 k , Ik , 里 - - 一 k 一kZ0 x:。z: 故由引理1及(6 )可得 (工!x “, 鱿 ;,2 = 又由引理2知 , (L】 x , ; , ; = ( a 嘿 +” 嘿 L,x一, 1 2 一 , ;会 X 飞1 , 飞2 一, , 由此可” 少 ( 缪 + b篡 ) 石 一一 L 一 B口 口 类 似由引理1 、 引理2及(7 )可得 纸 = : (豁 十b纂)“ L = Ce “( M 一G )土b(N 一g
9、 ) 1 = B 。= L1) = ( Ce “(M一G )土b (N一g) 11二C , 并应用引理1的结论 故由 B n , n: = ( L ”; 冬 ”2 aklbkZ 习艺 硕百了艺 K = Ik , 军kZ 一 k (1) x n 夕”2 厂 火k , , ” = e “( M 一G )士 b(N一g) x t t :,nZ ) 儿l , k 一专1, h 11 , Gk l:k2 1 Gk l卜1 kZk : gh x 一h:z , , , 、 。 、 ( 、 2 ,: , 牡2 , k 一kl, h泛 , 扣 gh r12- g h 一k2 1 1: 专: 、 , 几 :l:
10、/ (8) 比较(5)与(8) , 则 8 4 Z了t、 艺 L t、一, 12 一 、_ 刀I!nZ k x !k Z ! G 卜1 ,飞 : 2 k xi !k Z xi ) . . .( 粼 !糕、 ) (9) 其中艺 是取遍 k ;:+ k ;: + (1) + k 1 k l+ h 1 1+ h 1 2+ + hl卜2 = ”1, k :,+ k Z :+ + k Zk;+ h :;+ h Z: + 得证 。 + hZk Z= , 2, 将(9)代入(5)化简 即得(4) , 定理 把定理的证明略加推广 , 不难得到关于 f(G : (x : , x Z , x m ) , , G
11、s (x , , x, ) n 阶导数的相应公式 。 显 然 , 若在上式中取一个变元 , 价 un。 求导公式 九 ! 即 m 二1 , s= 1时 , 即得 f(G。) )的F a a D i D ” (f(t) = 习fk习石砰二 丽 飞=工 (异) kl 二 ( 鲁 ) k” (10) r 其中八 = DG吁 , G i = D ti召, k ;十 十 丸 、二 k , 习的意思是求遍所有的 k , k Z, , k ;, 使k :+ Zk :+ + , k 。 二n 。 本文得到邱佩璋老师的鼓励和支持 , 为此谨表衷心的感谢 。 我们希望这些公式的建 立 , 能对偏微分方程的研究起一
12、些作用 。 (i ,35年11月8日收到) 参考文献 i 2 C . Jo r d an , C a le ulu s o f finitediffe r enees ;e h, els e a , N ew 了o rk , loes . P 53 J . Rio rd a n , A n Intr o d uetlo: 1toe o 、m bin a 一to rial an alysis , wiley , N ew yo rk , 1 958 , PP , 3 5一37 . E . T . Bell , Po stu l氏tio n a lb a sis fo r the ur;:br a
13、le alc u lu s . Am e r , J . Math , 62(2 94 0)717一72 4 . 5 . M . R o皿an , Thefo rm 认lao fl了 : 、a Di1 1 rt zno , Am er , Matl l , M onthly . 12 (一98 0) . 曳 O n theG en eral F o rmo fHighe r o rder D erivativ e s fo r ComPo sition Fu netio ns S ong B aishe n g Abstra ct It15 Pu rp o s eo f thispaPertog ene r aliz e the for m ula o fFaaDi Bru n o . E ,peeially ; the form ula fo r thenth de riv ativ eo ff(G(x , y) , g(x , y) 15 5,t l died . M or e over, f(G l(不;, , x二), 一 , G s(x, , 二, 不 u ) . 然
