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1、五年级数学星队秋季班第三讲 鸟头模型 例 1 鸟头模型： （1） 如下左图， 三角形 ABC 中， D、E 分别是 AB、AC 上的点， 2ABAD，3ACAE；请问： 三角形 ABC 的面积是三角形 ADE 面积的几倍？ （2） 如下中图， 三角形 ABC 中， E 是 AC 上的点， D 是 BA 延长线 上的点，2ABAD，3ACAE； 请问：三角形 ABC 的面积是三 角形 ADE 面积的几倍？ （3） 如下右图， 三角形 ABC 中， D、E 分别是 BA、CA 延长线上 的点，2ABAD，3ACAE； 请问：三角形 ABC 的面积是三 角形 ADE 面积的几倍？ 【答案】 6 【解
2、析】 连接 BE，根据等高模型 1 2 ADE ABE SAD SAB ；同时 E D CB A E D C BA E D CB A 1 3 ABE ABC SAE SAC ，故有 111 236 ADEADEABE ABCABEABC SSSADAE SSSABAC ，即三角形 ABC 的面积是三角 形 ADE 面积的 6 倍. 练一练 鸟头模型（注意与例 1 相比有何 变化） ： （1）如图， 三角形 ABC 中， D、 E分别是AB、 AC上的点，1AD ， 5DB ，3AE ，4EC ；已知 三角形 ADE 的面积为 1， 请求出 三角形 ABC 的面积. 【答案】 14 【解析】 根
3、据鸟头模型， 131 1 53414 ADE ABC SADAE SABAC ，故14 ABC S . （2）如图，三角形 ABC 中，E 是 AC 上的点，D 是 BA 延长线 E D CB A 上的点，1AE ，2AD ，3EC ， 4AB ；如果三角形 ABC 的面 积是 12，请问：三角形 ADE 的 面积是多少？ 【答案】 1.5 【答案】 根据鸟头模型， 211 41 38 ADE ABC SADAE SABAC ， E D C AB 故 13 12 82 ADE S . 例 2 （1）如图，ABCD 和 DEFG 都是 正方形，请问：三角形 ADG 与 三角形 CDE 的面积之比
4、是多 少？ 【答案】 1:1 【解析】 三角形 ADG 与 CDE 中， 角 ADG G F E D CB A 与角 CDE 互补 （3609090180ADGCDE ） ， 故根据鸟头模型，两三角形的面 积之比等于对应夹边之比的乘 积（即 ADG CDE SADGD SCDED ） ；但由 于 ABCD 和 DEFG 都是正方形， 故知ADCD，GDED，故知 1:1 ADG CDE S S . （2）如图，园林小路由白色正 方形石板和红、绿两色的三角形 石板铺成. 问：内圈红色三角形 石板的总面积大，还是外圈绿色 三角形石板的总面积大？ 【答案】 一样大 【解析】 本题即为上一小题的多次重
5、复； 每一个红色三角形，均和与其有 公共顶点的绿色三角形面积相 等，故知SS 红青. （3）如图，以直角三角形的三 边分别向外做三个正方形 ABIH、 ACFG、BCED，连接 HG、EF、 ID，又得到三个三角形，已知 4AB 厘米，3AC 厘米，求六 边形 DEFGHI 的面积. 【答案】 74 平方厘米 【解析】 根据勾股定理可求得5BC 厘 米，故三个正方形的面积分别是 9 平方厘米、16 平方厘米、25 平方厘米；三角形 ABC 的面积 I H G F ED CB A 为3 426 平方厘米，而根据 书中例 3 第（1）题，可用鸟头 模型证明三角形 AGH、 BID、 CEF 都与三
6、角形 ABC 的面积相等， 故总面积为9 16256 4 74 平方厘米. 例 3 隐藏的鸟头： 四边形 ABCD 中，AB 与 BC 垂 直，各边长度已在图中标出，请 求出三角形 ABD 与三角形 BCD 的面积比. 【答案】 1:7 【解析】 连接 AC，则根据勾股定理 222 5550AC ，而 2222 1750ADCD，故知 222 ACADCD，故角 ADC 亦 为直角；进而 3609090180AC ， 所以可以对三角形 ABD 和三角 形 BCD 使用鸟头模型公式： 7 5 5 1 D C B A 1 51 7 57 ABD BCD SADAB SCD CB . 例 4 旋转型
7、多鸟头问题： （1）已知三角形 DEF 的面积为 7平方厘米，ADDB，2BEEC， 3CFFA，求三角形 ABC 的面 积. 【答案】 24 平方厘米 F E D CB A 【解析】 本题需运用三次鸟头模型： 111 248 ADF ABC SADAF SABAC ； 121 233 BDE ABC SBDBE SBABC ； 131 344 CEF ABC SCECF SCBCA ，故 知 1117 1 83424 DEFABCABC SSS ，所以 7 7 24 ABC S 24平方厘 米. （2）如图，四边形 ABCD 的面 积是 10 平方米，EAAB， FBBC，GCCD，HDDA
8、， 求四边形 EFGH 的面积. 【答案】 50 平方米 【解析】 连接 AC，可见 111 212 ABC EBF SBABC SBEBF ， 即2 EBFABC SS ，同理可得 2 GDHCDA SS ，两式相加可得 H G F E D C B A 220 EBFGDHABCD SSS 平方 米；连接 BD，类似地可以证得 220 EAHGCFABCD SSS 平方 米；故2020 1050 EFGH S平 方米. （3）如图，ABCDEF 是正六边 形， 将各边延长两倍至点 G、 H、 I、 J、 K、 L， 请求出六边形 GHIJKL 与正六边形 ABCDEF 的面积比. 【答案】
9、7:1 L K J I H G F E D C B A 【解析】 连接 AC， 则易证6 ABCDEFABC SS ； 由鸟头模型公式， 326 111 GBH ABC SBGBH SBABC ， 故知6 GBHABCABCDEF SSS ， 又 根据图形的对称性可知：三角形 LAG、KFL、JEK、IDJ、HCI 的 面积均与正六边形 ABCDEF 的 面积相等，故 7 1 GHIJKL ABCDEF S S . 练一练 如图在三角形 ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 边上的点， 且:2:5AD DB ，:3:5BE EC ， :2:3CF FA； 若三角形 DEF 的 面积
10、为 43.5 平方厘米， 那么三角 形 ABC 的面积是多少平方厘 米？ 【答案】 140 【解析】 类似第二单元例题，使用三次鸟 头模型公式： F E D CB A 236 7535 ADF ABC SADAF SABAC ； 5315 7856 BDE ABC SBDBE SBABC ； 521 854 CEF ABC SCECF SCBCA ， 故 知 615187 1 35564280 DEFABCABC SSS ， 所以 87 43.5140 280 ABC S 平 方厘米. 例 5 如图，三角形 ABC 面积为 1，延 长 BA 至 D，使DAAB；延长 CA 至 E，使2EAAC
11、；延长 CB 至 F，使3FBBC，求三角形 DEF 的面积. 【答案】 7 【解析】 1 22 ADE ABC SADAE SABAC ， 3 412 CEF ABC SCECF SCACB ， 2 36 DBF ABC SBDBF SBABC ，故 1 F E D CB A DEFADECEFDBFABC SSSSS 2 126 17 . 例 6 两种特殊的鸟头模型： 下左图就是“沙漏模型”；AB 与 CD 是平行线，AC 与 BD 交于点 O（为了更好地分析题目，右图 连接了 AD 与 BC） ；已知 :OA OCa b， （1） 根据已知条件，盛盛写出 了比例式：: OABOCB SS
12、a b ； 你还能写出哪些关于“沙漏模型” 的比例式呢？ :AB CD : . （2） : OABOCD SS : . 【答案】 （1）比值为 a b 的线段比例： :OA OCOB ODAB CDa b ； 比值为 a b 的面积比例：第一组： : OABOCBOADOCD SSSS : ABDCBD SSa b ； O DC BA O DC BA 第二组： : OABOADOCBOCD SSSS : ABCADC SSa b ； 相等的三角形： :1:1 OADOBC SS ； （2）比值为 2 2 a b 的三角形（最小 和最大三角形） 22 : OABOCD SSab 【解析】 （1）
13、 观察右图， 根据等高模型， : ABDCDB AB CDSS ，但根据 风筝模型， : ABDCDB SSOA OCa b ， 故 :AB CDa b. （2）根据鸟头模型， : OABOCD OA OB SS OCOD 22 : aa ab bb . 有了“沙漏模型”的基础，下面我 们来看一看下左图的“金字塔模 型”，图中 AB 与 CD 是平行线， CA 与 DB 交于点 O （为了更好地 分析题目，右图连接了 AD 与 BC） ； （3） 你能用面积证明 :OA OCOB OD吗？ （4） 若已知:OA OCa b，那 么你还能写出哪些金字塔模型 中的比例式呢？ （5） 若已知:OA
14、OCa b，那 么:AB CD . 【答案】 （ 3 ） 根 据 等 高 模 型 ， : OABOCB OA OCSS ；又因为 AB与CD平行， 故 ACBADB SS ， 从 而 有 OCBODA SS ， 故 : OABOCB OA OCSS O DC BA O DC BA : OABODA SSOB OD . （4） 、（5） 比值为 a b 的线段比例： :OA OCOB ODAB CDa b ； 由此可推出：:OA ACOB BD； 比值为 a b 的面积比例： 第一组： : OABOCBOADOCD SSSS : ABDCBD SSa b ； 第二组： : OABOADOCBOCD SSSS : ABCADC SSa b ； 相等的三角形： :1:1 OADOBC SS （不要求记住） ； 比值为 2 2 a b 的三角形 （最小和最大 三角形） ： 22 : OABOCD SSab 【解析】 （5）: ABCADC AB CDSS ，根 据风筝模型的推广形式，这个比 等于:BO DO等于:OA OC等于 :a b. 例 7 如图，三角形 ABC 的面积是 30 平方米， D、 E、 F、 G 分别是 AB、 AC 上的三等分点，E
