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1、1/53 线性代数串讲线性代数串讲 本次串讲主要根据线性代数(同济 大学) 课程中各章节的考核要点，对所涉及 到的基本概念、基本理论和基本方法作以 简明的阐述，使大家用较短的时间，集中 对课程的内容有所掌握，也便于在复习时 对各知识点可以自行考核。 2/53 第一章第一章 行列式行列式 （一）行列式的定义（一）行列式的定义 行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子， 它实质上表示把这些数按 一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数. 1二阶行列式二阶行列式 由 4 个数)2 , 1,(=jiaij得到下列式子： 1112 2122 aa aa 称为一个二阶行列式，其运算
2、规则为 21122211 2221 1211 aaaa aa aa = 2三阶行列三阶行列式式 由 9 个数)3 , 2 , 1,(=jiaij得到下列式子： 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递 归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念. 3/53 3余子式及代数余子式余子式及代数余子式 设有三阶行列式 333231 232221 131211 3 aaa aaa aaa D = 对任何一个元素 ij a， 我们划去它所在的第 i 行及第 j 列， 剩下的元素
3、按原先次序组成一个二阶行列式， 称它为元素 ij a的余子式，记成 ij M 例如例如 3332 2322 11 aa aa M =， 3332 1312 21 aa aa M =， 2322 1312 31 aa aa M = 再记 ij ji ij MA + =) 1( ，称 ij A为元素 ij a的代数余子式. 4/53 例如例如 1111 MA =， 2121 MA=， 3131 MA= 那么 ，三阶行列式 3 D定义为 我们把它称为 3 D按第一列的展开式，经常简写成 = + = = 3 1 11 1 3 1 113 ) 1( i ii i i ii MaAaD 313121211
4、111 333231 232221 131211 3 AaAaAa aaa aaa aaa D+= 5/53 4n阶行列式阶行列式 一阶行列式 11111 aaD= n 阶行列式 1121211111 21 22221 11211 nn nnnn n n n AaAaAa aaa aaa aaa D+=L L LLL L L 其中( ,1,2, ) ij A i jn=L为元素 ij a的代数余子式. 6/53 5特殊行列式特殊行列式 上三角行列式 11121 222 1122 0 00 n n nn nn aaa aa a aa a = L L L LLLL L 下三角行列式 11 22 1
5、122 12 00 0 nn nnnn a aa a aa aaa = L L L LLLL L 21 对角行列式 11 22 1122 00 00 00 nn nn a a a aa a = L L L LLLL L 7/53 （二）行列式的性质（二）行列式的性质 性质性质 1 行列式和它的转置行列式相等，即 T DD = 性质性质 2 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是说，行 列式可以按行和列提出公因数. 性质性质 3 互换行列式的任意两行（列） ，行列式的值改变符号. 推论推论 1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零. 推论
6、推论 2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 性质性质 4 行列式可以按行（列）拆开. 性质性质 5 把行列式 D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元 素上去，所得的行列式仍为 D. 8/53 定理定理 1（行列式展开定理） n 阶行列式 n ij aD =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即 ), 2 , 1( 2211 niAaAaAaD ininiiii LL=+= 或), 2 , 1( 2211 njAaAaAaD njnjjjjj LL=+= 前一式称为 D 按第 i 行的展开式，后一式称为 D
7、 按第 j 列的展开式. 本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值. 定理定理 2 n 阶行列式 n ij aD =的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积 之和等于零.即)(0 2211 kiAaAaAa kninkiki =+L 或)(0 2211 sjAaAaAa nsnjsjsj =+L 9/53 （三）行列式的计算（三）行列式的计算 行列式的计算主要采用以下两种基本方法： （1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是， 在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（1） ，在按行或按列提取公因子 k
8、 时，必须在新的 行列式前面乘上 k. （2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是 利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开： 10/53 例 例 1 计算行列式 5207 2325 1213 1412 4 =D 解： 解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是1 12 =a，利用这个元素可以把这一 列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开. 4 2 1 4 12 1 4 1 5 6 2 31 2 121 15 0 6 2 15 0 5 2 3 2105 03( 2) 1 7 2 5 0 2 57 0
9、 2 5 5 31 2 312 25 110081 375 7 37 5 D + = + + = 行行 按第二列展开 行行 7 列列按第二行展开 11/53 例 例 2 计算行列式 abbb babb bbab bbba D = 4 解：方法 解：方法 1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取 0 值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为ba3+（我们把它称为行和相 同行列式） ，我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子ba3+，再将后三行都减 去第一行： 31 31 (3 ) 31 31 1 000 (3 ) 000
10、000 a b b bab b b bb b b b a b bab a b ba b b ab b b a bab b a bb a b b b b aab b b ab b a bbb ab ab ab ab + + =+ + + =+ 3 )(3(baba+= 12/53 方法方法 2 观察到这个行列式每一行元素中有多个 b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与 4 D 有相同值的五阶行列式： 112 3 4 5 4 11 01000 01000 01000 01000 b b b bbbbb a b b b a b b bab b a b b Db a b ba b b b a b
11、 b b a ba b b b b a b b b aab + = 行（ ） ，行 这样得到一个“箭形”行列式，如果ba =，则原行列式的值为零，故不妨假设ba ，即0ba， 把后四列的 ba 1 倍加到第一列上，可以把第一列的（1）化为零. 4 4 1 0000 4 00001()(3 )() 0000 0000 b bbbb ab ab b a babab ab ab a b ab 3 + =+=+ 13/53 例例 3 三阶范德蒙德行列式 )()( 111 231312 2 3 2 2 2 1 3213 xxxxxx xxx xxxV= （四）克拉默法则（四）克拉默法则 定理 定理 1（
12、克拉默法则）设含有 n 个方程的 n 元线性方程组为 11 112211 21 122222 1 122 , , nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb += += += L L LLLLLLLLLL L 如果其系数行列式0= n ij aD，则方程组必有唯一解：nj D D x j j , 2 , 1,L= 其中 j D是把 D 中第 j 列换成常数项 n bbb, 21 L后得到的行列式. 把这个法则应用于齐次线性方程组，则有 14/53 定理定理 2 设有含 n 个方程的 n 元齐次线性方程组 11 11221 21 12222 1 1
13、22 0, 0, 0 nn nn nnnnn a xa xa x a xa xa x a xa xa x += += += L L LLLLLLLLLL L 如果其系数行列式0D，则该方程组只有零解：0 21 = n xxxL 换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有0=D，在教材第二章中，将要证明，n 个方程的 n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零. 15/53 例 例 4 当取何值时，齐次线性方程组 =+ =+ =+ 0)1 ( 0)3(2 042)1 ( 321 321 321 xxx xxx xxx 只有零解？ 解： 解：方程组的系数行列式 124134 2
14、3121211 11 1101 3413 (1) 1121 D + = + + + 列列 按第三行展开 32 56= +) 3)(2(= 由于, 3, 2, 00D故当0且2且3时，方程组只有零解. 16/53 第二章第二章 矩阵矩阵 （一）矩阵的定义（一）矩阵的定义 1矩阵的概念矩阵的概念 由nm个数), 2 , 1;, 2 , 1(njmiaijLL=排成的一个 m 行 n 列的数表 = mnmm n n aaa aaa aaa A L LL L L 21 22221 11211 称为一个 m 行 n 列矩阵或nm矩阵 当nm =时，称() nn ij aA =为 n 阶矩阵或 n 阶方阵
15、 元素全为零的矩阵称为零矩阵，用 nm O 或 O 表示 17/53 23个常用的特殊方阵：个常用的特殊方阵： n 阶对角矩阵是指形如 = nn a a a A L LL L L 00 00 00 22 11 的矩阵 n 阶单位方阵是指形如 = 100 010 001 L LL L L n E的矩阵 n 阶三角矩阵是指形如 nnnnnn n n aaa aa a a aa aaa L LL L L L LL L L 21 2221 11 222 11211 0 00 , 00 0 的矩阵 3矩阵与行列式的差异矩阵与行列式的差异 矩阵仅是一个数表，而 n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概 念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“*”与矩阵记号“( )*”也不同，不能用错. 18/53 （二）矩阵的运算（二）矩阵的运算 1矩
