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1、第五十讲第五十讲 古典概型与几何概型古典概型与几何概型 回归课本回归课本 1.基本事件的特点基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是任何两个基本事件是互斥互斥的的; (2)任何事件任何事件(除不可能事件除不可能事件)都可以表示成都可以表示成基本事件的和基本事件的和. 2.古典概型古典概型 (1)定义定义:我们将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率我们将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率 模型模型,简称为古典概型简称为古典概型. 试验中所有可能出现的基本事件只有试验中所有可能出现的基本事件只有有限有限个个. 每个基本事件出现的可能性每个基本事件出现的可能性相等相等. (2)计算公式计算公式
2、: 注意注意:应用古典概型计算概率时应用古典概型计算概率时,要验证试验中基本事件的两要验证试验中基本事件的两 个条件个条件. . A P A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 3.几何概型几何概型 (1)定义定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长长 度度(面积或体积面积或体积)成比例成比例,则称这样的概率模型为几何概率模则称这样的概率模型为几何概率模 型型,简称为几何概型简称为几何概型. (2)计算公式计算公式: A() . () P A 构成事件 的区域长度 面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 注意注意:(1)几何
3、概型具备以下两个特征几何概型具备以下两个特征 无限性无限性,即每次试验的结果即每次试验的结果(基本事件基本事件)有无限多个有无限多个,且全体结且全体结 果可用一个有度量的几何区域表示果可用一个有度量的几何区域表示; 等可能性等可能性,即每个基本事件发生的概率相等即每个基本事件发生的概率相等. (2)应用几何概型求概率需将试验和事件所包含的基本事件转应用几何概型求概率需将试验和事件所包含的基本事件转 化为点化为点,然后看这些点构成的区域是线段还是平面还是几然后看这些点构成的区域是线段还是平面还是几 何体何体.也就是需要将试验和事件转化为相应的几何图形也就是需要将试验和事件转化为相应的几何图形.
4、考点陪练考点陪练 1.(2010浙江宁波调考浙江宁波调考)在三棱锥的六条棱中任意选择两条在三棱锥的六条棱中任意选择两条, 则这两条棱是一对异面直线的概率为则这两条棱是一对异面直线的概率为( ) 11 2015 11 56 AB CD 解析解析:在三棱锥的六条棱中任意选择两条共有在三棱锥的六条棱中任意选择两条共有15种情况种情况,其中其中 异面的情况有异面的情况有3种种,则这两条棱异面的概率为则这两条棱异面的概率为 所以选所以选C. 答案答案:C 31 , 155 P 2.(2010 山东临沂质检山东临沂质检)甲、乙两人各写一张贺年卡甲、乙两人各写一张贺年卡,随意送给随意送给 丙、丁两人中的一人
5、丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年卡送给同一人的概则甲、乙将贺年卡送给同一人的概 率是率是( ) 11 23 11 45 AB CD 解析解析:(甲送给丙甲送给丙,乙送给丁乙送给丁),(甲送给丁甲送给丁,乙送给丙乙送给丙),(甲甲 乙都送乙都送 给丙给丙),(甲甲 乙都送给丁乙都送给丁)共四种情况共四种情况,其中甲其中甲 乙将贺年卡送乙将贺年卡送 给同一人的情况有两种给同一人的情况有两种,所以所以 选选A. 答案答案:A 21 , 42 P 3.(2010江苏南京质检江苏南京质检)抛掷两颗骰子出现的点数分别为抛掷两颗骰子出现的点数分别为b、 c,则方程则方程x2+bx+c=0有两个实根的概率为
6、有两个实根的概率为( ) 115 236 195 366 AB CD 解析解析:抛掷两颗骰子抛掷两颗骰子,共有共有36个结果个结果,方程有解方程有解,则则=b2- 4c0,b24c,满足条件的数对记为满足条件的数对记为(b2,4c),共有共有 (4,4),(9,4),(9,8),(16,4),(16,8),(16,12),(16,16),(25,4),(25,8) ,(25,12),(25,16),(25,20),(25,24),(36,4),(36,8),(36,12),(36, 16),(36,20),(36,24)共共19个结果个结果, 答案答案:C 19 . 36 P 4.(2010福
7、建福州诊断福建福州诊断)为了测算如图阴影部分的面积为了测算如图阴影部分的面积,作一作一 个边长为个边长为6的正方形将其包含在内的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷并向正方形内随机投掷 800个点个点,已知恰有已知恰有200个点落在阴影部分内个点落在阴影部分内,据此据此,可估计可估计 阴影部分的面积是阴影部分的面积是( ) A.12 B.9 C.8 D.6 解析解析:正方形面积为正方形面积为36,阴影部分面积为阴影部分面积为 36=9. 答案答案:B 200 800 5.(2010浙江温州调研浙江温州调研)一个袋子中有一个袋子中有5个大小相同的球个大小相同的球,其其 中有中有3个黑球与个黑
8、球与2个红球个红球,如果从中任取两个球如果从中任取两个球,则恰好取到则恰好取到 两个同色球的概率是两个同色球的概率是( ) 13 510 21 52 AB CD 解析解析:(黑黑1,黑黑2),(黑黑1,黑黑3),(黑黑1,红红1),(黑黑1,红红2),(黑黑2,黑黑3),(黑黑2, 红红1),(黑黑2,红红2),(黑黑3,红红1),(黑黑3,红红2),(红红1,红红2)共共10个结果个结果, 同色球为同色球为(黑黑1,黑黑2),(黑黑1,黑黑3),(黑黑2,黑黑3),(红红1,红红2)共共4个结个结 果果, 答案答案:C 2 . 5 P 类型一类型一 写出基本事件写出基本事件 解题准备解题准备
9、:随机试验满足下列条件随机试验满足下列条件:(1)试验可以在相同的条件试验可以在相同的条件 下重复做下去下重复做下去;(2)试验的所有结果是明确可知的试验的所有结果是明确可知的,并且不止并且不止 一个一个;(3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在试但在试 验之前却不能肯定会出现哪一个结果验之前却不能肯定会出现哪一个结果.所以所以,随机试验的每随机试验的每 一个可能出现的结果是一个随机事件一个可能出现的结果是一个随机事件,这类随机事件叫做这类随机事件叫做 基本事件基本事件. 【典例典例1】 做抛掷两颗骰子的试验做抛掷两颗骰子的试验:用用(x,y)表示结
10、果表示结果,其中其中x 表示第一颗骰子出现的点数表示第一颗骰子出现的点数,y表示第二颗骰子出现的点数表示第二颗骰子出现的点数, 写出下列事件包含的基本事件写出下列事件包含的基本事件:(1)试验的基本事件试验的基本事件;(2)事件事件 “出现点数之和大于出现点数之和大于8”;(3)事件事件“出现点数相等出现点数相等”;(4)事事 件件“出现点数之和大于出现点数之和大于10”. 分析分析 抛掷两颗骰子的试验抛掷两颗骰子的试验,每次只有一种结果每次只有一种结果;且每种结果且每种结果 出现的可能性是相同的出现的可能性是相同的,所以该试验是古典概型所以该试验是古典概型,当试验结当试验结 果较少时可用列举
11、法将所有结果一一列出果较少时可用列举法将所有结果一一列出. 解解 (1)这个试验的基本事件为这个试验的基本事件为 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). (2)“出现点数之和大于出现点数之和大于8
12、 ”包含以下包含以下10个基本事件个基本事件 :(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). (3)“出现点数相等出现点数相等”包含以下包含以下6个基本事件个基本事件 :(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6). (4)“出现点数之和大于出现点数之和大于10”包含以下包含以下3个基本事件个基本事件 :(5,6),(6,5),(6,6). 类型二类型二 简单的古典概型问题简单的古典概型问题 解题准备解题准备:计算古典概型事件的概率可分三步计算古典概型事件的概率可分三步:算出基本事算出基本事
13、件的总个数件的总个数n;求出事件求出事件A所包含的基本事件个数所包含的基本事件个数m;代代 入公式求出概率入公式求出概率P. 【典例典例2】 从含有两件正品从含有两件正品a1 a2和一件次品和一件次品b1的的3件产品中件产品中 每次任取每次任取1件件,每次取出后不放回每次取出后不放回,连续取两次连续取两次,求取出的两求取出的两 件产品中恰有一件次品的概率件产品中恰有一件次品的概率. 分析分析 先用坐标法求出基本事件数先用坐标法求出基本事件数m和和n,再利用公式再利用公式 求求 出出P. 解解 每次取一件每次取一件,取后不放回地连续取两次取后不放回地连续取两次,其一切可能的结其一切可能的结 果为
14、果为(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),其中小括其中小括 号内左边的字母表示第号内左边的字母表示第1次取出的产品次取出的产品,右边的字母表示第右边的字母表示第 2次取出的产品次取出的产品,由由6个基本事件组成个基本事件组成,而且可以认为这些基而且可以认为这些基 本事件的出现是等可能的本事件的出现是等可能的.用用A表示表示“取出的两件产品中取出的两件产品中, 恰好有一件次品恰好有一件次品”这一事件这一事件,则则 , m P n A=(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).事件事件A由由4个基本事件组成个基本事件组
15、成, 因而因而 42 ( ). 63 P A 类型三类型三 复杂事件的古典概型问题复杂事件的古典概型问题 解题准备解题准备:求复杂事件的概率问题求复杂事件的概率问题,关键是理解题目的实际含关键是理解题目的实际含 义义,必要时将所求事件转化为彼此互斥事件的和必要时将所求事件转化为彼此互斥事件的和,或者是先或者是先 去求对立事件的概率去求对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式进而再用互斥事件的概率加法公式 或对立事件的概率公式求出所求事件的概率或对立事件的概率公式求出所求事件的概率. 【典例典例3】 某种饮料每箱装某种饮料每箱装6听听,如果其中有如果其中有2听不合格听不合格,质检质检 人员
16、从中随机抽出人员从中随机抽出2听听,求下列事件的概率求下列事件的概率: (1)A:经检测两听都是合格品经检测两听都是合格品; (2)B:经检测两听一听合格经检测两听一听合格,一听不合格一听不合格; (3)C:检测出不合格产品检测出不合格产品. 分析分析 显然属于古典概型显然属于古典概型,所以先求出任取所以先求出任取2听的基本事件听的基本事件 总数总数,再分别求出事件再分别求出事件A B C所包含的基本事件的个数所包含的基本事件的个数,套套 用公式求解即可用公式求解即可. 解解 设合格的设合格的4听分别记作听分别记作1,2,3,4,不合格的两听分别记作不合格的两听分别记作 a,b. 解法一解法一:如果看作是一次性抽取如果看作是一次性抽取2听听,没有顺序没有顺序,那么所有基本那么所有基本 事件为事件
