《备战2019高考数学大二轮复习 专题四 数列 4.1 等差数列与等比数列课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2019高考数学大二轮复习 专题四 数列 4.1 等差数列与等比数列课件 理（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题四 数列,4.1 等差数列与等比数列,-3-,-4-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,等差数列与等比数列的基本量的求解 【思考】 如何求解等差数列与等比数列的基本量? 例1记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8,答案,解析,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),an与Sn这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.因为a1,d(q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基
2、本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练1(1)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 (2)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .,答案,解析,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,等差数列与等比数列的
3、判定与证明 【思考】 证明数列an是等差数列或等比数列的基本方法有哪些? 例2已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项.,答案,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思1.证明数列an是等差数列的两种基本方法: (1)利用定义,证明an+1-an(nN*)为常数; (2)利用等差中项,证明2an=an-1+an+1(n2). 2.证明数列an是等比数列的两种基本方法:,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练2设an和bn是两个等差数列,记cn=maxb1-a1n,b2-a2n,bn-ann(n=
4、1,2,3,),其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs这s个数中最大的数. (1)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明cn是等差数列; (2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当nm时, M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,是等差数列.,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(1)解: c1=b1-a1=1-1=0, c2=maxb1-2a1,b2-2a2=max1-21,3-22=-1, c3=maxb1-3a1,b2-3a2,b3-3a3=max1-31,3-32,5-33=-2. 当n3时,(bk+1-nak+1)-(
5、bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n0, 所以bk-nak关于kN*单调递减. 所以cn=maxb1-a1n,b2-a2n,bn-ann=b1-a1n=1-n. 所以对任意n1,cn=1-n,于是cn+1-cn=-1. 所以cn是等差数列.,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,答案,解析,等差数列与等比数列性质的应用 【思考】 常用的等差、等比数列的性质有哪些?,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思等
6、差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题需多注意观察,发现其联系,加以应用. (1)等差数列的性质:an=am+(n-m)d(n,mN*); 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*); 设等差数列an的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等差数列. (2)等比数列的性质:an=amqn-m(m,nN*); 若m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,qN*); 若等比数列an的公比不为-1,前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等比数列.,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,答案,解析,-16-,
7、命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,等差数列、等比数列的综合问题 【思考】 解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的? 例4(2018天津,理18)设an是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(nN*),bn是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (1)求an和bn的通项公式; (2)设数列Sn的前n项和为Tn(nN*), 求Tn;,-17-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(1)解 设等比数列an的公比为q. 由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0. 因为q0,可得q=2,故an=2n-1. 设等差数
8、列bn的公差为d. 由a4=b3+b5,可得b1+3d=4. 由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n. 所以,数列an的通项公式为an=2n-1,数列bn的通项公式为bn=n.,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-19-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是只要抓住基本量a1,d(q),充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理运用相关知识,就能解决这类问题.,-20-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练4等差数列a
9、n的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 .,答案,解析,-21-,规律总结,拓展演练,1.等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前n项和公式构造关于a1与d、a1与q的方程(组)解决.在求解过程中灵活运用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差数列、等比数列问题的认识. 2.解决等差数列an前n项和问题常用的三个公式 是: ;Sn=An2+Bn(A,B为常数),灵活地选用公式,解决问题更便捷. 3.等差数列和等比数列的中项、前n项和都有一些类似的性质,充分利用性质可简化解题过程. 4.证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义
10、法和中项法.,-22-,规律总结,拓展演练,5.等差数列、等比数列的通项公式、求和公式有多种形式的变形.在求解相关问题时,要根据条件灵活选择相关公式,同时两种数列可以相互转化,如等差数列取指数函数之后即为等比数列,正项等比数列取对数函数之后即为等差数列.,1.已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97,-23-,规律总结,拓展演练,C,-24-,规律总结,拓展演练,2.已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84,B,3.(2018全国,理4)记Sn为等差
11、数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12,B,解析 因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.,-25-,规律总结,拓展演练,4.若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则= .,1,解析 设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q, 由题意知-1+3d=-q3=8,-26-,规律总结,拓展演练,5.(2018全国,理17)在等比数列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式; (2)记Sn为an的前n项和,若Sm=63,求m.,
