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1、梧桐叶上三更雨，叶叶声声是别离。 1 求函数值域的 12 种方法 一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 1.函数), 0(Rxkbkxy的值域为 R； 2.二次函数), 0( 2 Rxacbxaxy当0a时值域是 a bac 4 4 2 ，+)， 当0a时值域是(, a bac 4 4 2 ； 3.反比例函数 )0,0(xk x k y 的值域为0|yy； 4.指数函数), 1, 0(Rxaaay x 且的值域为 R； 5.对数函数xy a log)0, 1, 0(xaa且的值域为 R； 6.函数)( cos ,sinRxxyxy的值域为-1，1；函数 ), 2 k(xtanZk
2、xy , cot x y ),(Zkkx的值域为 R； 7.对勾函数 )0,0(xa x a xy 的值域为 ),22,(aa ； 8.形如 )0,0(xa x a xy 的值域为0|yy；渐近线为 y=x 二、求值域的方法 1. 直接法(观察法)通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域 例例 1 1求函数342 2 xxy（x30,）的最值 解：1) 1(2 2 xy，当3x =时， max y1x9=,时， min y=1. 例例 2 2求函数323yx=+-的值域。 解：由算术平方根的性质，知23x-0，故323yx=+-3.函数的值域为, 3. 2. 反函数法求值
3、域对于形如)0( a bax dcx y的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过 求反函数的定义域从而得到原函数的值域。 例例 3 3求函数 1 2 x y x + = + 的值域。 解： 显然函数 1 2 x y x + = + 的反函数为: 12 1 y x y - = - ,其定义域为 y1 的实数,故函数 y 的值域为 yy1,y R。 3. 换元法求值域对形如)0, 0(cadcxbaxy的函数常设dcxt来求值域；对形如 梧桐叶上三更雨，叶叶声声是别离。 2 )0, 0( 2 cacxcbaxy的函数常用“三角换元” ，如令cosx来求值域。 例例 4 4求函数321yxx
4、 的值域。 解：设21(0)txt,则 2 1 (1) 2 xt。于是 22 1117 (1)3(1)44 2222 yttt . 所以，原函数的值域为： 7 , 2 。 例例 5 5已知),(yxp是圆4 22 yx上的点，试求xyyxt3 22 的值域。 解：在三角函数章节中我们学过：1cossin 22 注意到4 22 yx可变形为：1) 2 () 2 ( 22 yx 令, 0,sin 2 ,cos 2 yx 2)则2sin64sin2cos234t 4 , 02 又)即 1 , 12sin故10, 2t 例例 6 6求函数 2 1xxy的值域 解：1 - x 20, |x|1, 设 )
5、 2 , 2 (sin x,则) 4 sin(2cossin y 21, 4 3 44 y 例例 7 7求函数 2 ( )43f xxxx的值域。 解：由 22 ( )43(2)1f xxxxxx，令2sinx，其中, 2 2 ，则 ( )2sincos22sin() 4 f x ， 因为, 2 2 ，所以 3 , 444 ，从而 2 sin(),1 42 ，因此( )1,22f x 。 4. 配方法求值域二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解， 但在转化的过程中要注意 等价性，特别是不能改变定义域。 例例 8 8求 xx xf432)( 2 在区间1,0内的最值。 解：配方得 3
6、 4 ) 3 2 2( 3432)( 22 xxx xf 1,0x ， 所以 1 21 2 x ， 从而当 2 2 3 x 即 2 2 log 3 x 时，( )f x取得最大值 4 3 ； 当21 x 即0x 梧桐叶上三更雨，叶叶声声是别离。 3 时( )f x取得最小值 1。 5. 用“方程判别式”法求值域对形如)0( 2 2 2 1 22 2 2 11 2 1 aa cxbxa cxbxa y的函数常转化成关于 x 的二 次方程，由于方程有实根，即0从而求得 y 的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。 例例 9 9求函数y= 22 1 2 2 xx xx 的最值 解
7、：分母1) 1( 2 x0,定义域为R.原式化为) 12() 12() 1( 2 yxyxy=0. 当y1时，此二次方程有实根.=) 12)(1(4) 12( 2 yyy=)32)(12(yy0，即 2 1 y 2 3 ； 当y=1时，x=1，即x=1时，y=1 2 1 , 2 3 . max y= 2 3 ， min y= 2 1 . 例例 1010求函数y= 4 x413 2 + 2 x 的最值 解：由y 2 x = 4 x413 2 + 平方整理得： 2 x83yx16+0y16 2 =.由于x为实数， = 2 )16(y)163(84 2 y0，故y 4 2 或y 4 2 . 当函数在
8、x0时，y= 4 x413 2 + 2 x 4 x23 2 x = 2 13 x0； 在x0时，显然有y0，y 4 2 不属于所给函数的值域，这是由于在变形过程中采用了两边平方 后而引起值域扩大的部分，应舍去. min y= 4 2 . 6. 利用函数的有界性求值域借助 2 0, sin1xx等解决。例如对形如 dxb cxa y cos sin ，由于正余 弦函数都是有界函数，值域为-1，1，利用这个性质可求得其值域。 例例 1111求函数 2 2 4 1 x y x 的值域。 解：由 2 2 4 1 x y x 得 2 4 1 y x y ，有由 2 0x 得 4 0 1 y y ，解得4
9、1yy 或，函数值域为： , 41, 例例 1212求函数 x x y cos2 sin 的值域 xxyysincos2:解yxy2)sin(1 2 ytan其中 2 1 2 )sin( y y x 1| )sin(|x 1| 1 2 | 2 y y 即 2 1|2|yy 22 1)2(yy yxyx2cossin Rx 3 3 3 3 y解得： 梧桐叶上三更雨，叶叶声声是别离。 4 例例 1313：试求函数) 8 7 2 (cos) 8 7 2 (cos 22 xx y的最大值。 解：根据余弦函数二倍角公式化简得： ) 4 7 sin(sin 2 ) 4 7 cos() 4 7 cos( 2
10、 1) 4 7 cos( 2 1) 4 7 cos( x xxxx y . 2 2 , 2 2 , 2 2 ,1 , 1sin,sin 2 2 max yyxx即 7. 利用函数单调性求值域一般能用于求复合函数的值域或最值。 （原理：同增异减） 例例 1414求函数 1 41 3() 3 yxxx的值域。 由已知的函数是复合函数，即( )1 3 ,( )( )g xx yf xg x ，其定义域为 1 3 x ，在此区间内分别讨 论函数的增减性，从而确定函数的值域。 解：设( )4f xx, 1 ( )1 3() 3 g xxx ,易知它们在定义域内为增函数，从而 ( )( )41 3yf x
11、g xxx 在定义域为 1 | 3 x x 上也为增函数，而且 114 ( )( ) 333 yfg,因此，所求的函数值域为y|y 3 4 。 例例 1515求函数)4(log 2 2 1 xxy的值域。 解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令： )0)(4)( 2 xfxxxf配方得：)4 , 0)(4)2()( 2 （所以xfxxf由复合函数的单调性（同增 异减）知：), 2y。 例例 1616求函数： 4 5 2 2 x x y的最值。 解：定义域为 R，虽然y= 4x 1 4x 2 2 + +2，但 4x 1 4x 2 2 + =+无解，等号
12、不成立 这说明y2.可将原函数式配方得y=（ 42 4x + 42 4x 1 + ） 2 2，视 2 x为未知元， 对于 2 x、 42 4x +递增， 42 4x 1 + 递减， 42 4x 1 + 递增. 42 4x + 42 4x 1 + 递增， 由于 42 4x + 42 4x 1 + 0，（ 42 4x + 42 4x 1 + ） 2 也递增. 而 2 x0， 2 x0时有最小值且无最大值.故当x=0时， min y= 2 5 . 梧桐叶上三更雨，叶叶声声是别离。 5 另解： 2 2 222 543 ( )4 444 x f xx xxx 2 3 4 4x 35 4 22 。 当且仅
13、当 2 2 4 4 4 x x ，即0x 时，等号成立，所以 5 ( ), 2 f x 8.不等式法能利用几个重要不等式及推论来求得最值。 （如：abbaabba2,2 22 ） 例例 1717当0x时，求函数 2 4 8)( x xxf的最值，并指出)(xf取最值时x的值。 解： 因为 22 4 44 4 8)( x xx x xxf可利用不等式 3 3 abccba即： 3 2 4 443)( x xxxf所 以12)(xf当且仅当 2 4 4 x x 即1x时取”=”当1x时)(xf取得最小值 12。 9. 构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形。对于形如函数dcxbaxy 22 )()
14、(b,d 均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 例例 1818求函数 1 sin ( ) 2cos x f x x 的值域。 解：令 1 sin ( ) 2cos x kf x x ，则k可以看成坐标平面内过点(cos ,sin )Axx、( 2, 1)B 直线的斜率。 因为(cos ,sin )Axx点在圆 22 1XY上运动，因此，当直线BA是此圆的切线时，斜率k取得最值。 设过B点的切线方程为1(2)Yk X ，则有 2 21 1 1 k k ，解得 1 0k ， 2 4 3 k 。 因此( )f x的值域为 4 0, 3 。 例例 1919求函数121
