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1、* * 12. 12. 过点过点C C作一线段作一线段MNMN与直线与直线 AB AB 和和 OX OX 轴都相交。轴都相交。 大多数同学：大多数同学： 作图不规范，特别是线条没有粗细之分！作图不规范，特别是线条没有粗细之分！ 王辉王辉, , 李兆基科技大楼A925室 18911028644 3 （一）平面的投影（一）平面的投影 平面上的直线和点平面上的直线和点 平面的投影特性平面的投影特性 （二）（二）直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置 4 2.4 平面的投影平面的投影 5 一、平面的表示法一、平面的表示法 a b c a b c 不在同一直线不在同一直线 上的三个点
2、上的三个点 a b c a b c 直线及线直线及线 外一点外一点 a b c a b c d d 两平行两平行 直线直线 a b c a b c 两相交两相交 直线直线 a b c a b c 平面平面 图形图形 6 二、平面的投影特性二、平面的投影特性 平行平行 垂直垂直 倾斜倾斜 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性 实形性实形性 积聚性积聚性 类似性类似性 反映实形反映实形 积聚成直线积聚成直线 类似图形类似图形 7 a b c 平面多边形平面多边形T T的投影不可能是右侧的的投影不可能是右侧的 _._. T 思考：思考： 注意：注意： 1) 边数边数 2) 平行性平行
3、性 投影面投影面垂直面垂直面 投影面投影面平行面平行面 一般位置一般位置平面平面 特殊特殊位置平面位置平面 垂直垂直于于某一某一投影面，投影面， 与另两个投影面与另两个投影面倾斜倾斜 平行平行于某于某一一投影面，并投影面，并 垂直垂直于另于另两个两个投影面投影面 与三个投影面与三个投影面都倾斜都倾斜 正垂面正垂面（ V V面）面） 侧垂面侧垂面（ W W面）面） 铅垂面铅垂面（ H H面）面） 正平面正平面（V V面）面） 侧平面侧平面（W W面）面） 水平面水平面（H H面）面） 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性 平面相对于三投影面的位置：平面相对于三投影面的位置
4、： 9 a b c a c b c b a 1 1） 投影面垂直面投影面垂直面 类似性类似性 类似性类似性 积聚性积聚性 铅垂面铅垂面 投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。且且 反映空间平面与另外两投影面夹角的大小反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影是类似形。另外两个投影面上的投影是类似形。 10 a b c a b c a b c 2 2） 投影面平行面投影面平行面 积聚性积聚性 积聚性积聚性 实形性实形性 水平面水平面 投影特性：投影特性： 在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实
5、形。 另两个投影面上的投影积聚成直线，并且与相应另两个投影面上的投影积聚成直线，并且与相应 的投影轴平行。的投影轴平行。 11 a b c a c b a b c 3 3） 一般位置平面一般位置平面 三个投影都是空间三个投影都是空间 图形的类似形。图形的类似形。 投影特性：投影特性： 12 一般位置平面一般位置平面 一个一个投影投影积聚积聚成直线（成直线（投影轴）投影轴） 两个两个投影为投影为类似类似形形 两个两个投影投影积聚积聚成直线（成直线（ 投影轴）投影轴） 一个一个为为实形实形 三个投影都为类似形三个投影都为类似形 归纳归纳 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面 平面的投
6、影特性：平面的投影特性： 13 3.3.平面上的直线和点平面上的直线和点 判断直线在判断直线在 平面内的方法平面内的方法 定理一定理一 若一直线过平面若一直线过平面 上的两点上的两点，则此直线则此直线 必在该平面内必在该平面内 定理二定理二 若一直线过平面上的若一直线过平面上的 一点一点，且平行于该平面上且平行于该平面上 的另一直线的另一直线，则此直线在则此直线在 该平面内该平面内。 1 1）平面上的直线）平面上的直线 M M N N A A B B M M 第五公设 14 a b c b c a a b c b c a d m n n m d 例例1 1：已知平面由直线：已知平面由直线ABA
7、B、ACAC所确定，试所确定，试 在平面内任作一条直线。在平面内任作一条直线。 根据定理二根据定理二 根据定理一根据定理一 15 例例2 2：在平面：在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H H面的距离面的距离 为为10mm10mm。 n m n m 10 c a b c a b 16 2 2） 平面上的点平面上的点 面上取线，线上定点面上取线，线上定点 例：已知例：已知K K点在平面点在平面ABCABC上，求上，求K K点的水平投影。点的水平投影。 面上取点的方法：面上取点的方法： 几何定理：若点在平面内，则该点必属于平面内一直线。几何定理：若点在平面内，则该点必属于
8、平面内一直线。 a b c a b k c d k d b a c c a k b k 17 d e d e 10 10 m m 例：在例：在ABCABC内取一点内取一点M M，并使其到，并使其到V V 面和面和H H 面的距离面的距离 均为均为10mm10mm。 b c X X b c a a O O 18 a d a d b c b c 例：已知例：已知ACAC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCDABCD的水平投影。的水平投影。 b c k a d a d b c k 19 2.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置 20 点、直线、平面之间的相
9、对位置点、直线、平面之间的相对位置 从属关系从属关系 平行关系平行关系 相交关系相交关系 属于直线的点属于直线的点 属于平面的点属于平面的点 属于平面的直线属于平面的直线 直线与直线平行直线与直线平行 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行 直线与直线相交直线与直线相交 直线与平面相交直线与平面相交 平面与平面相交平面与平面相交 垂直关系垂直关系 直线与直线垂直直线与直线垂直 直线与平面垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直平面与平面垂直 21 一、一、 平行问题平行问题 1. 1. 直线与平面平行直线与平面平行 定定 理理 若直线平行于平若直线平行于平 面内一直线，则该面内一
10、直线，则该 直线平行于平面。直线平行于平面。 反之，若直线平反之，若直线平 行于平面，则在平行于平面，则在平 面内必可作一直线面内必可作一直线 与该直线平行。与该直线平行。 d d a b c a b c n n m m c b MN/ABC?MN/ABC? 22 例：过例：过M M点作直线点作直线 MN MN 平行于平行于V V 面和平面面和平面ABCABC。 n n d d c b a m a b c m 23 例：过例：过M M点作直线点作直线 MN MN 平行于平行于V V 面和平面面和平面ABCABC。 n n d d c b a m a b c m MN必定与面ABC和V面的交线平
11、行 24 2. 2. 两平面平行两平面平行 c f b d e a a b c d e f f h a b c d e f h a b c d e 定定 理理 若两平面内有若两平面内有 一对一对相交直线相交直线对对 应平行，则该两应平行，则该两 平面平行。平面平行。 推推 论论 若两若两投影面垂投影面垂 直面直面相互平行，相互平行， 则它们则它们具有积聚具有积聚 性性的那组投影必的那组投影必 相互平行。相互平行。 25 k k 不平行不平行 例：判断平面例：判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM是否平行，是否平行， 已知已知ABABCDCDEFEFMHMH a c e b b a
12、 d d f c f e h h O O X X m m 26 直线与平面相交直线与平面相交交点为共有点交点为共有点 平面与平面相交平面与平面相交交线为共有线交线为共有线 求交问题的本质是求共有点求交问题的本质是求共有点 几何元素相对几何元素相对 投影面的位置投影面的位置 均不具均不具 有积聚有积聚 性投影性投影 至少其一至少其一 具有积聚具有积聚 性投影性投影 一般位置的相交问题一般位置的相交问题 特殊位置的相交问题特殊位置的相交问题 二、二、 相交问题相交问题 至少其一至少其一 具有积聚具有积聚 性投影性投影 特殊位置的相交问题特殊位置的相交问题 27 例：求直线与平面的交点例：求直线与平
13、面的交点K K 分析分析 求交点求交点 判别可见性判别可见性 作图作图 a b c m n c n b a m k k 特殊位置的相交问题特殊位置的相交问题 K 28 k m(n) b m n c b a a c 分析分析 求交点求交点 判别可见性判别可见性 k 作图作图 例：求直线与平面的交点例：求直线与平面的交点K K K 29 a a b d( (e) ) e b d h( (f) ) c f c h 分析分析 求交线求交线 判别可见性判别可见性 作图作图 m m n n 例：求两平面的交线例：求两平面的交线MNMN，并判别可见性。并判别可见性。 n m 30 a b c c b a d f e d e f 交线为正垂线交线为正垂线 判别可见性判别可见性 m n m (n ) 互交互交 例：求两平面的交线。例：求两平面的交线。 请思考：请思考： 两个正垂面相交，两个正垂面相交， 其交线是什么线？其交线是什么线？ n m 1( (2) ) 1 2 31 平面的投影平面的投影 熟练掌握熟练掌握平面上找点与线平面上找点与线的基本作图方法的基本作图方法 熟练掌握各种位置熟练掌握各种位置平面的投影特性，特别是平面的投影特性，特别是特殊位置特殊位置平平 面的投影特性面的投影特性 平行问题平行问题 直线与平面平行只需直线与直线与平面平行只需直线与平面上任一直线平面上任一直线平行平行 二平
