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1、Functional Analysis Lecture 泛函分析 讲义 ElegantLaTeX Victory wont come to us unless we go to it. 整理：张敬信 整理时间：July 14, 2016 Email: zhjx_ Version: 1.0 目录 引 言1 1距离空间3 1.1距离空间的基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2开集、闭集及连续映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2、. . .8 1.3稠密与可分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.4完备性 集合的类型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 1.5列紧与紧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 1.6Banach 压缩映射原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3、 . . . . . . . . . . .29 2赋范线性空间与 Banach 空间33 2.1赋范线性空间基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 2.2有限维赋范线性空间的同构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 2.3Banach 空间的几何性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 3内积空间与 Hilbert 空间53 3.1内积空间基本概念. .
4、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 3.2正交与正交分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 3.3标准正交基. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 4有界线性算子67 4.1有界线性算子基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5、67 4.2开映射定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 4.3闭图像定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 4.4一致有界原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 5共轭空间和共轭算子81 5.1Hahn-Banach 延拓定理 . . . . . . . . . . . .
6、. . . . . . . . . . . . . . . . .81 5.2共轭空间 自反空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 5.3共轭算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 5.4弱收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 5.5弱 * 收敛 . . . . .
7、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 目录3/114 6线性算子的谱理论105 6.1线性算子的谱理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 6.2有界自共轭线性算子的谱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 6.3紧算子与紧算子的谱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8、 . . . .110 4/114目录 引 言 一. 什么是泛函分析？ 泛函分析是 “更广泛、更一般化的”数学分析 ，是将分析中的具体问题抽 象到一种更加纯粹的代数、拓扑的形式中加以研究，综合运用分析、代数、几何的观 点与方法，研究无限维空间上的函数、算子和极限理论，解决分析学中的问题 二. 起源与地位 泛函分析是 20 世纪 30 年代，从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子 物理等研究中发展起来的一门数学分支学科，它的产生使数学的发展进入了一个新的 阶段，它是 20 世纪对数学影响最大的新兴学科之一，是近代分析的基础 泛函分析在微分方程、概率论、函数论、计算数学、控制论、最优化理论、
9、连续 介质力学、量子物理等，以及一些工程技术学科中都有重要的应用 三. 主要研究对象 空间集合+一定的结构 算子无限维空间到无限维空间的映射1 四. 主要研究方法 1. 引入空间、极限的概念，把函数、算子当成空间中的元素，在新的空间的框 架下讨论它们的性质； 2. 研究线性算子（线性运算）的性质，进一步讨论由线性算子组成的空间的性 质，通过归纳、类比的方法把分析、代数中的结果（有条件地）推广到无限 维空间 2/114绪 论 五. 本课程主要研究内容 (1) 距离空间； (2) 赋范线性空间和 Banach 空间； (3) 内积空间和 Hilbert 空间； (4) 线性算子和线性泛函； (5)
10、 共轭空间和共轭算子； (6) 线性算子的谱理论 六. 怎么学好泛函分析？ 1. 了解基本概念的来源和背景，进而深入理解概念； 2. 注重研究一些重要的、一般性定理的深刻的、具体的含义； 3. 学习数学研究的基本方法：划分、类比、归纳、联想； 4. 训练一定的抽象思维能力：概念清楚、思维清晰、逻辑推理严谨 我们认为要真正理解泛函分析中的一些重要的概念和理论，灵活运用 这一强有力的工具，其唯一的途径就是深入了解它们的来源和背景，注重 研究一些重要的、一般性定理的深刻的、具体的含义不然的话，如果只 是从概念到概念，纯形式地理解抽象定理的推演，那么学习泛函分析的结 果只能是 “如宝山而空返，一无所获
11、” 张恭庆（中科院院士） 第 1 章 距离空间 1.1 距离空间的基本概念 一. 距离空间的定义及例 定义 1.1.1. 设 X 为非空集，若对x, yX, 均有一个正实数 d(x, y)与之对应， 且满足： (i) (非负性) d(x, y) 0, d(x, y) =0, 当且仅当 x=y; (ii) (对称性) d(x, y) =d(y, x); (iii) (三角不等式) d(x, y) d(x, z) +d(y, z). 则称 d(,)为 X 上的一个距离。定义了距离的集合称为距离空间，记为(X, d). 注 1.1.1. (1) 距离的定义，是实轴上绝对值概念的推广，保留了绝对值最本
12、质的 性质； (2) 性质 (i)(iii) 称为距离公理，其中 (iii) 来源于 “平面三角形两边之和大于第三 边”； (3) 由 (iii) 和 (ii) 易知1， ? ?d(x, y) d(y, z)? d(x, z),x, y, zX 实际上， d(x, y) d(x, z) +d(z, y)=d(x, y) d(y, z) d(x, z) d(y, z) d(y, x) +d(x, z)=d(y, z) d(x, y) d(x, z) 下面给出一些具体的距离空间的例。 1. n 维欧氏空间 Rn Rn= ( 1, n): kR 对于任给的 Rn中的两个元 x= (1, n)与 y=
13、 (1, n), 定义 d(x, y) = (n k=1 |kk|2 )1 2 1“平面三角形两边之差小于第三边” 4/114第 1 章 距离空间 要证(Rn, d)是距离空间，只需验证 d(,)满足距离公理 (i)(iii). (i), (ii) 显然，为验证 (iii), 我们先证明 Cauchy 不等式： n k=1 akbk (n k=1 a2 k )1 2( n k=1 b2 k )1 2 ,ak, bkR 实际上，对R, 都有 0 n k=1 (ak+bk)2= n k=1 a2 k +2 n k=1 akbk+2 n k=1 b2 k 上式右端是关于 的二次函数，对任意的 R 都
14、是非负的，故根判别式小于等于 0, 即 ( 2 n k=1 akbk )2 4 n k=1 a2 k n k=1 b2 k 0 故 Cauchy 不等式成立由 Cauchy 不等式可得 n k=1 (ak+bk)2= n k=1 a2 k +2 n k=1 akbk+ n k=1 b2 k n k=1 a2 k +2 (n k=1 a2 k )1 2( n k=1 b2 k )1 2 + n k=1 b2 k (1.1) = ( n k=1 a2 k )1 2 + n k=1 b2 k )1 2 2 对于 Rn中任意的点 x= (1, n), y= (1, n), z= (1, n), 令 a
15、k=kk, bk=kk, 则有 (n k=1 |kk|2 )1 2 (n k=1 |kk|2 )1 2 + (n k=1 |kk|2 )1 2 即 d(x, y) d(x, z) +d(y, z), 因此，(Rn, d)是距离空间 注 1.1.2. (1) 对于 n 维复欧氏空间 Cn, 可类似地定义距离 d(x, y) = (n k=1 |kk|2 )1 2 其中，| |表示复数的模，也构成距离空间； (2) 同一集合上可定义不同的距离，从而得到不同的距离空间例如，在 Rn上定 义 d1(x, y) = n k=1 |kk|, d(x, y) =max | kk|: k=1,n 都构成距离空间。 1.1 距离空间的基本概念5/114 2. 连续函数空间 Ca, b Ca, b = x(t) : x(t)为a, b上的连续函数 对任意的 Ca, b中的两个元 x=x(t), y=y(t), 定义 d(x, y) =max ta,b ? ?x(t) y(t)?. (i), (ii) 显然，下面验证 (iii). 设 x(t), y(t), z(t) Ca, b, 则 ? ?x(t) y(t)? ? ?x(t) z(t)?+ ? ?z(t) y(t)? max ta,b
