高中求数列通项公式常用方法总结

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1、高中数学求解数列通项公式常用方法总结高中数学求解数列通项公式常用方法总结 （共（共15种类型）种类型） 类型类型 1（迭加法）（迭加法） 1 1 1 2 21 2 212 (21)2 ( ) log 1 (n 1) n n n nn n n n n n aaf n n ， n aa求, 1 1 以上 6 种情况都要试着做一遍 例例 1：已知数列 n a满足 11 2 11 , 2 nn aaa nn ,求 n a。 解：由条件知： 1 2 1111 (1)1 nn aa nnn nnn 分别令1,2,3,(1)nn，代入上式得(1)n个等式累加之，即 2132431 ()()()() nn a

2、aaaaaaa 1111111 (1)()()() 223341nn 所以 1 1 1 n aa n 1 11131 ,1 222 n aa nn 类型类型 2（迭乘法）（迭乘法） 1 1 ( )= 2 n n n n a f nn a ， n aa求, 1 1 例例 2：已知数列 n a满足 11 2 , 31 nn n aaa n ,求 n a。 解：解：由条件知 1 1 n n an an , 分别令1,2,3,(1)nn，代入上式得(1)n个等式累乘之，即 324 12311 12311 234 nn n aaaaan aaaanan 第 1 页（共 10 页） 又 1 22 , 33

3、 n aa n 类型类型 3 （退一相减法）（退一相减法）递推公式为Sn 与an 的关系式。(或() nn Sf a) 解法：这种类型一般利用 1 1 (1) (2) n nn Sn a SSn 与 11 ()() nnnnn aSSf af a 消去 n S (2)n 或与 1 ()(2) nnn Sf SSn 消去 n a 进行求解。 常见题型常见题型：1、1 2 nnSn， n a求（关系与nSn） 2、 nnn aaS求, 23（关系与 nn aS） 3、 n na aaa n 2222 3 1 3 3 2 2 1 ，求 n a（ n an与） 例：例：已知数列 n a前n项和 2 1

4、 4 2 nn n Sa . (1)求 1n a 与 n a的关系；（2）求通项公式 n a. 解：(1) 2 1 4 2 nn n Sa 得： 11 1 1 4 2 nn n Sa 于是 11 21 11 ()() 22 nnnn nn SSaa 所以 111 1 111 222 nnnnn nn aaaaa . 类型类型 3 （构造法 1） n 1n apaq (其中, p q均为常数，(1)0)pq p )。 可以转化为 1 ),()( 1 p q apa nn 其中 例：已知数列 n a中， 11 1,23 nn aaa ，求 n a. 解：设递推公式 1 23 nn aa 可以转化为

5、 1 2() nn aa 即 1 23 nn aa . 故递推 1 32(3) nn aa ,令3 nn ba，则 11 34ba,且 11 3 2 3 nn nn ba ba 。 所以 n b是以 1 4b 为首项，2 为公比的等比数列， 11 4 22 nn n b , 所以 1 23 n n a . 第 2 页（共 10 页） 类型类型 4 （构造法 2） 1 n nn apaq (其中, p q均为常数，(1)(1)0)pq pq)。 （或 1 n nn aparq ,其中, ,p q r均为常数）。等式两边同除以 nn pq或者 1 例：已知数列 n a中， 1 11 511 ,(

6、) 632 n nn aaa ，求 n a. 解：在 1 1 11 ( ) 32 n nn aa 两边乘以 1 2n得： 1 1 2 2(2) 1 3 nn nn aa 令2n nn ba，则 1 2 1 3 nn bb , 解之得： 2 32( ) 3 n n b 所以 11 3( )2( ) 223 nn n n n b a 1 ( nn paanb p 类型类型 5（构造法（构造法 3） a =1,0,a 0) 解法：这种类型一般利用待定系数法待定系数法构造等比数列，即令 1 (1)() nn ak nmp akxm ， 与已知递推式比较， 解出,mk而转化为 n aknm 是公比为p的

7、等比数列。 例例：设数列 11 :4,321,(2) nnn aaaann ，求 n a. 解：解：设 nn baAnB，则 nn abAnB，将 1 , nn a a 代入递推式，得 1 3(1)21 nn bAnBbA nBn 1 3(32)(331) n bAnBA 321 3311 AAA BBAB 类型类型 6（构造法（构造法 4） 1 (0,0) r nnn apapa 解法：解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 1nn apaq ，再利用待定系数法求解。 例例：已知数列 n a中， 2 11 1 1,(0) nn aaaa a ，求数列 n a的通项公式. 解解：由 2 1

8、 1 nn aa a 两边取对数得 1 1 lg2lglg nn aa a ， 第 3 页（共 10 页） 令lg nn ba，则 1 1 2lg nn bb a ，再利用待定系数法解得： 21 1 ( ) n n aa a 。 类型类型 7 (倒数法倒数法) 1 n n n a a paq 解法：这种类型一般是等式两边取倒数两边取倒数后换元换元转化为 1nn apaq 。 高中阶段涉及到分式形式数列，通常是采用倒数法或者是一个周期数列 例例：已知数列 n a满足： 1 1 1 ,1 31 n n n a aa a ，求数列 n a的通项公式。 解解：取倒数： 1 11 3111 3 n nn

9、n a aaa 1 n a 是等差数列， 1 111 (1) 31 (1) 3 32 n n nna aan 类型类型 8 （构造法（构造法 5） 11 nnnn aaapa nn aa 1两边同除以 nnnnn aaaaaa求练习, 1,3: 111 n qa(其中, p q均为常数）. 类型类型 9 （构造法 6）递推公式为an+2 =pan+1 + （连续三项时要注意拆中间项） 解法一解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为 211 () nnnn asat asa 其中, s t满足 stp stq 选学：自招和竞赛需要会要、特征根法 解法二 选学：自招和竞赛需要会要、特征根法 解法

10、二（特征根法） ： 对于由递推公式 21nnn apaqa ， 12 ,aa结出的数列 n a， 方程 2 0xpxq，叫做数列 n a的特征方程。若 12 ,x x是特征方程的两个根，当 12 xx 时，数列 n a的通项为 11 12 nn n aAxBx ，其中 A，B 由 12 ,aa决定（即把 1212 ,a ax x和1,2n ， 代入 11 12 nn n aAxBx ， 得到关于 A、 B 的方程组） ， 当 12 xx时， 第 4 页（共 10 页） 数列 n a的通项为 1 1 () n n aABn x ，其中 A，B 由 12 ,aa决定（即把 1212 ,a ax x

11、 和1,2n ，代入 1 1 () n n aABn x ，得到关于 A.B 的方程组）。 解法一（待定系数解法一（待定系数迭加法）：迭加法）： 数列 n a： 2112 3520(0,), nnn aaannNaa ab ，求数列 n a的通项公式。 由 21 3520 nnn aaa ，得 211 2 () 3 nnnn aaaa 且 21 aaba。 则数列 1nn aa 是以ba为首项， 2 3 为公比的等比数列，于是 1 1 2 ()( ) 3 n nn aaba 。把1,2,3,nn代入，得 21 aaba， 32 2 () ( ) 3 aaba, 2 43 2 () ( ) 3

12、aaba, 2 1 2 ()( ) 3 n nn aaba 。 把以上各式相加，得 1 1 1 2 1 ( ) 222 3 ()1( )( )() 2 333 1 3 n n n aababa 。 11 22 33( )()3()( )32 33 nn n abaaabba 。 解法二（特征根法）：解法二（特征根法）： 数列 n a： 2112 3520(0,), nnn aaannNaa ab 的特征方程是： 2 3520xx. 12 2 1, 3 xx, 111 12 2 ( ) 3 nnn n aAxBxAB . 第 5 页（共 10 页） 又由 12 ,aa ab，于是 32 2 3(

13、) 3 aAB Aba BabbAB 故 1 2 323()( ) 3 n n abaab 特征根高考时候涉及较少，高考难度通常用第一种待定系数构造更好 类型类型 10（选学）（选学） 1 n n n paq a rah 解法解法：如果数列 n a满足下列条件：已知 1 a的值且对于nN，都有 1 n n n paq a rah （其 中, , ,p q r h均为常数，即 1 ,0, h phqr ra r ），那么，可作特征方程 pxq x rxh ,当 特征方程有且仅有一根 0 x时，则 0 1 n ax 是等差数列；当特征方程有两个相异的根 12 ,x x 时，则 1 2 n n ax ax 是等比数列。 例：已知数列 n a满足性质：对于nN， 1 4 23 n n n a a a 且 1 3a ,求 n a的通项公式. 解解:数列 n a的特征方程为 4 23 x x x ,变形得 2 2240xx，其根为 12 1,2 . 故特征方程有两个相异的根，使用定理 2 的第(2)部分，则有 1 1 111 12