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1、1 2000 年全国高中数学联合竞赛试卷年全国高中数学联合竞赛试卷 （10 月 15 日上午 8:009:40） 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1设全集是实数，若 A=x| x20，B=x|10x 22 =10x，则 ARB 是() (A)2(B)1(C)x|x2(D) 2设 sin0，cos0，且 sin 3cos 3，则 3的取值范围是( ) (A)(2k+ 6，2k+ 3)， kZ(B)( 2k 3 + 6， 2k 3 + 3)，k Z (C)(2k+5 6 ，2k+)，k Z(D)(2k+ 4，2k+ 3)(2k+ 5 6 ，2k+)，k Z 3已知点 A 为双曲线
2、 x2y2=1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，ABC 是等边三角形，则ABC 的面 积是() (A) 3 3 (B) 3 3 2 (C)3 3(D)6 3 4 给定正数 p，q，a，b，c， 其中 pq， 若 p，a，q 是等比数列， p，b，c，q 是等差数列， 则一元二次方程 bx22ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线 y=5 3x+ 4 5的距离中的最小值是( ) (A) 34 170 (B) 34 85 (C) 1 20 (D) 1 30 6设=cos 5+isi
3、n 5，则以， 3，7，9为根的方程是( ) (A)x4+x3+x2+x+1=0(B) x4x3+x2x+1=0 (C) x4x3x2+x+1=0(D) x4+x3+x2x1=0 二填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 1arcsin(sin2000)=_ 2设 an是(3 x)n的展开式中 x 项的系数(n=2，3，4，)，则 lim n( 32 a2+ 33 a3+ 3n an )=_. 3等比数列 a+log23，a+log43，a+log83 的公比是_. 4在椭圆x 2 a2+ y2 b2=1 (ab0)中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 B.若该椭圆的离心率
4、是 51 2 ，则 ABF=_. 5一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则这个球的体积是_. 6如果：(1)a，b，c，d 都属于1，2，3，4； (2)ab，bc，cd，da； (3)a 是 a，b，c，d 中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数 _ abcd的个数是_ 三、解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分) 2 1设 Sn=1+2+3+n，nN*，求 f(n)= Sn (n+32)Sn+1的最大值 2若函数 f(x)=1 2x 2+13 2 在区间a，b上的最小值为 2a，最大值为 2b，求a，b 3已知 C0：x2+y2=1 和 C1：x 2 a2+
5、y2 a2=1 (ab0)试问：当且仅当 a，b 满足什么条件时，对 C 1上任意一点 P，均存 在以 P 为顶点，与 C0外切，与 C1内接的平行四边形？并证明你的结论 = 2000 年全国高中数学联赛二试题 （10 月 15 日上午 1000-1200） 一 （本题满分 50 分） 如图，在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F，满足BAE=CAF，作 FMAB，FNAC（M、N 是垂足） ，延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D证明： 四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等 二 （本题满分 50 分） 设数列an和bn满足 a0=1，a1=4，a2=49，且 an
6、+1=7an+6bn3， bn+1=8an+7bn4n=0，1，2， 证明 an（n=0，1，2，）是完全平方数 三 （本题满分 50 分） 有 n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 n2 个人之间通电话的次数相等，都是 3 k次， 其中 k 是自然数，求 n 的所有可能值 二一年全国高中数学联合竞赛题二一年全国高中数学联合竞赛题 （10 月 4 日上午 8：009：40） 学生注意：学生注意：1、本试卷共有三大题（、本试卷共有三大题（15 个小题） ，全卷满分个小题） ，全卷满分 150 分。分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线
7、。、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。、不能使用计算器。 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 36 分，每小题分，每小题 6 分）分） 本题共有本题共有 6 个小是题，每题均给出（个小是题，每题均给出（A） （） （B） （） （C） （） （D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的 代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的 代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6 分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律 得 分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律 得 0
8、 分。分。 1、已知 a 为给定的实数，那么集合 M=x|x2-3x-a2+2=0,xR的子集的个数为 （A）1（B）2（C）4（D）不确定 2、命题 1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题 2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题 3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； A B C D EF M N 3 以上三个命题中正确的有 （A）0 个（B）1 个（C）2 个（D）3 个 3、在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以为周期、在（0， 2 ）上单调递增的偶函数是 （A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=
9、|ctgx|（D）y=lg|sinx| 4、如果满足ABC=60，AC=12，BC=k 的ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是 （A）k=83（B）0a2a3a4a5a6）的 电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该 组件总电阻值最小？证明你的结论。 F A B C D E 4 二一年全国高中数学联合竞赛加试试题二一年全国高中数学联合竞赛加试试题 （10 月 4 日上午 10：0012：00） 学生注意：学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分、本试卷共有三大题，全卷满分 150 分。分。2、用圆珠笔或钢笔作答。、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。、解题书
10、写不要超过装订线。4、不能使用计算器。 一、 （本题满分 50 分） 、不能使用计算器。 一、 （本题满分 50 分） 如图：ABC 中，O 为外心，三条高 AD、BE、CF 交于点 H，直线 ED 和 AB 交于点 M，FD 和 AC 交于点 N。求证： （1）OB DF，OCDE； （2）OHMN。 二、 （本题满分 50 分）二、 （本题满分 50 分） 设 xi0(I=1,2,3,n)且12 11 2 njk jk n i i xx j k x，求 n i i x 1 的最大值与最小值。 三、 （本题满分 50 分）三、 （本题满分 50 分） 将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干
11、边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正 方形边长之和的最小值。 2002 年全国高中数学联赛试题及解答 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1设全集是实数集，若0，10 ，则 是（） 21 2 2设0，0，且，则的取值范围是（） （26，23）， （236，233）， （256，2）， （24，23）（256，2）， 3已知点 A 为双曲线 221 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，是等边三角形，则 5 的面积是（） 33236 4给定正数，其中若，是等比数列，是等差数列，则一 元二次方程 220（ ） 无实根 有两个相等实根 有两个
12、同号相异实根 有两个异号实根 5平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5345 的距离中的最小值是（） 17085120130 6设，则以， 3，7，9为根的方程是（ ） 43210 43210 43210 43210 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 7（2000）_ 8设是（3） 的展开式中项的系数（2，3，4，），则 _ 9等比数列23，43，83 的公比是_ 10在椭圆 22221（0）中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 B若该椭 圆的离心率是，则_ 11一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积是_ 12如果：（1），都属于
13、1，2，3，4； （2），； （3）是，中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_ 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 13设123，求（）的最大值 14若函数（）12 2132 在区间，上的最小值为 2，最大值为 2，求， 15已知0： 221 和 1： 22221（0），那么，当且仅当，满足什么条件时， 对1上任意一点 P，均存在以 P 为顶点、与 C0外切、与1内接的平行四边形？并证明你的结论 2003 年全国高中数学联合竞赛试卷 得分评卷人 6 一选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每题均给出 A、B、C、D 四个结论， 其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6 分；不 选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分)。 1删去正整数数列 1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第 2003 项是 A2046B2047C2048D2049答（） 2设 a，bR，ab0，那么直线 axyb0 和曲线 bx2ay2ab 的图形是 yyy y xxxx ABCD 答（） 3过抛物线 y28(x2)的焦点 F 作倾斜角为 60o的直线，若此直线与抛物线交于 A、B 两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点，则线段 PF 的长等于 A 3
