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1、常见函数极限 66 一一、常见数列极限的存在情况常见数列极限的存在情况： (1)1,1,1,1,1,L L。通项1 n y =，极限11() n yn= （收敛） 即lim11 n = (2) 1111 1, 234n LL。通项 1 n y n =，极限 1 0 () n yn n = （收敛） 即0 1 lim= n n (如图 2) (3) 123 , 2341 n n+ LL。通项 1 n n y n = + ，极限0 () 1 n n yn n = + （收敛）即lim0 1 n n n = + (4) 1 143( 1) 2 , 234 n n n - + - LL。通项 1 (
2、1)n n n y n - + - =，极限 1 ( 1) 1 n n n y n - + - =()n （收 敛）即 1 ( 1) lim1 n n n n - + - = (如图 4) (5)2,4,8,2 , n LL。通项2n n y =，极限:2() n n yn= （发散） (6) 1 1, 1,1,( 1), n+ -LL。通项： 1 ( 1)n n y + = -;极限： 1 ( 1)() n n yn + = -趋势不定（发散） (如图 6) 1- O g 1 gg 123456 1 (1) n n y + =- n n y n 图图 6 6 图图 4 4 O 1 2 123
3、456 1 ( 1)n n n y n - + - = n n y n 图图 2 2 O 123 456 1 n y n = n n y n 常见函数极限 67 (7) 1,2,3, , nLL。通项 n yn=，极限() n ynn= （发散）(如图 7) 。 (8) 2, 6, 10, ( 1) 2 4, 8, 12, n n n yn n - = -= L L （ 为奇数） ，（ 为偶数） 。通项： ( 1) 2 n n yn= - 极限 () ( 1) 2 () n n nn yn nn - = -=+ （ 为奇数） （ 为偶数） ( 1) 2 n n yn= -()n 趋势不定（发散
4、） (如图 8) 二二、常见常见基本初等函数基本初等函数极限存在情况极限存在情况 （一一）当当,xxx - +时的极限时的极限（为直观起见在图中将x -记为x- 以下均同） (1) 函数yC=，极限lim x CC = (C为常数)； （2）函数yx=，极限 lim x x = （极限不存在） O x y C yC= x- x + 图图 1 1 y x yx= o x- x + 图图 2 2 o n y n ( 1) 2 n n yn= - g g g g g 23564 5-4- 2-1-3- 6- 4 2 6 12 10 8 10- 12- 8- 2- 4- 6- n 1 图图 8 8 1
5、 2 35 n 124 O 3 6 n yn= n y n 图图 7 7 常见函数极限 68 x + x y 2 yx= o x- 图图 5 5 (3)函数yx= -，极限lim x x -=m（）； (4)函数 1 y x =，极限 1 lim0 x x = (5)函数 2 yx=，极限 2 lim x x = +（ 极限不存在） ；(6)函数 1 2 yx=，极限lim x x + = + （极限不存在） （7)函数 3 yx=，极限 3 lim x x = （极限不存 在） ； （8）函数 1 3 yx=，极限 1 3 lim x x = ， （极限不存在） 图 8 3 ( )f xx=
6、 x O y x-x + 图 7 x O 3 ( )f xx= x-x + y 图 6 y x yx= ox + y x O yx=- x +x- 图图 3 3 1 1 y x x - = y x o x- x + 图图 4 4 常见函数极限 69 2 2、指数函数部分指数函数部分 (9)函数(1 x yaa= ），极限lim (1) x x aa + = +（极限不存在） （注意：x +） (10)函数(1 x yaa= ）极限lim0 (1) x x aa - =;（注意：x -） (11)函数 (01) x yaa=，极限lim log (1) a x xa + = +极限不存在 （注意
7、：x +）; (14)函数log (0 x y +x O y (0,1) 01a x O x-x + g 图图 1111 y (0,1) 01a x +x-xO x ya= g 图图 9 9 常见函数极限 70 或综上(13)(14) 3 3、三角函数部分三角函数部分（原书没有原书没有） （15）函数sinyx=，极限 limsin x x 趋势不定，极限不存在（注意：x 即x ） （16）函数xycos=，极限limcos x x 趋势不定，极限不存在 （注意：x 即x ） （17）函数tanyx=，极限limtan x x 趋势不定，极限不存在（注意：x 即x ） 图 14 (1,0) 0
8、1a x y O x + 图图 15 x 2 p 2 p - 3 2 p - p p- 3 2 p - sinyx= O 1 y 1- -x+x o tanyx= 2 p 2 p - x y -x+x 图图 1717 -x +x x 1 y 1- 2 p 2 p - 3 2 p - p p-3 2 p cosyx= o 图图 1616 常见函数极限 71 （18）函数cotyx=，极限limcot x x 趋势不定，极限不存在（注意：x 即x ） 4 4、反三角函数部分反三角函数部分 (19)函数arctanyx=，极限lim arctan 2 x x p + =（注意：x +） (20)函数
9、arctanyx=，极限lim arctan 2 x x p - = -（注意：x -） （21)函数arccotyx=，极限lim arccot0 x x + =（注意：x +） (22)函数arccotyx=，极限 lim arccot x xp - =（注意：x -） x 图 21 O y p cotyarcx= x + O y p cotyarcx= x- x + x g 图图 2222 O 2 p - 2 p arctanyx=x- x y g 图图 2020 O 2 p - 2 p arctanyx= x + x y 图图 1919 cotyx= 2 p 2 p - 3 2 p x
10、 y -x+x O 图图 1818 常见函数极限 72 （一一）当当 0 xx， 0 xx-， 0 xx+时的函数极限时的函数极限 1 1、幂函数部分幂函数部分 (23) 函数yC=，极限 0 lim xx CC = (C为常数); (24)函数 1 y x =，极限 0 1 lim x x = m m (25)函数yx=，极限 0 0 limxx xx = ； （26）函数yx= -，极限 0 )(lim 0 xx xx -=- （27）函数 n yx=，极限 0 0 lim nn xx xx =（n为正整数） (28)函数 2 yx=，极限 2 0 lim0 x x = m ； (29)函
11、数 1 2 yx=，极限 1 2 00 limlim0 xx xx + = 2 yx= y x o0x + 0x - 图图 2727 yx= y x o 0x + 图图 2828 0 x 0 x y x yx= O 0 xx- 0 xx+ 图图 2525 C x y 0 x yC= O 0 xx-0 xx+ 图图 2323 o 1 yx-= y x 0 xx-0 xx+ 图图 2424 图图 2626 yx= - 0 x- 0 xx+0 xx- x o0 x y 常见函数极限 73 (30) 3 0 lim0 x x = m (31) 1 3 0 lim0 x x = m 2 2、指数函数部分
12、指数函数部分 (32)函数 (1) x yaa=，极限 0 lim1 (1) x x aa =； (33)函数 (01) x yaa=，极限 0 lim log (1) a x xa + = -极限不存在； （36）函数log (1) a yx a=，极限 1 limlog0(1) a x xa = m 图 29 3 ( )fxx= y o x 0x - 0x + 图 30 1 3 yx= o y x 0x + 0x - 图图 3131 (0,1) O x x ya= 1a y 0x - 0x + 1 0x - 0x + (0,1) O x 01a y 1 图图 3333 (0,1) O x
13、01a 1x - 1x + 1 图图 3434 (1,0) logayx= x y 1a 0x + O 1 图图 3838 (1,0) 01a 1 O (1,0) 01a logayx= x y 0x + 1 图图 3636 (1,0) 01a logayx= x y O 1 1x + 1x - 图图 3737 常见函数极限 75 （40）函数sinyx=，极限 () 2 lim sin1 x x p = m ； 一般 (2) 2 limsin1 xk x p p+ = m （0,1,2,3k =L） 或综上（39） （40） （41）函数xycos=，极限 0 lim cos1 x x =
14、m ； 一般 (2) limcos1 xk x p = m （0,1,2,3k =L） ； （42）函数xycos=，极限 () 2 lim cos0 x x p = m ;一般 (2) 2 limcos1 xk x p p+ = m （0,1,2,3k =L） o 1 y x 1- 2 p 2 p - 3 2 p - p p-3 2 p cosyx= x g () 2 x p- () 2 x p+ 图图 4343 1 y x 1- 2 p 2 p - 3 2 p - p p-3 2 p cosyx= x g g O 0x - 0x + 图图 4242 x 图图 4141 2 p - 3 2 p - p p- 3 2 p - sinyx= O 1 y x 1- x g g 2 p g () 2 x p- () 2 x p+ 图图 4040 常见函数极限 76 或综上（41） （42） （43）函数tanyx=，极限 0 lim tan0 x x = m ； 一般 () lim tan0 xk x p = m （0,1,2,3k =L） ； （44）函数tanyx=，极限 () 2 lim tan x x p = m ；
