n阶行列式计算方法

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1、n n 阶行列式的计算方法阶行列式的计算方法 1 1利用对角线法则利用对角线法则 “对角线法则”： （1）二、三阶行列式适用“对角线法则”； （2）二阶行列式每项含 2 项，三阶行列式每项含 3 项，每项均为不同行、不同列的元素 的乘积； （3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。 例 1 计算二阶行列式 42 31 =D。 解：22341 42 31 =D 例 2 计算三阶行列式 210 834 021 =D。 解： ) 1(812420) 3(0) 1(400822) 3(1 210 834 021 += =D 14= 2 2利用利用 n n 阶行列式的定义阶行列式的定义

2、n阶行列式= nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 n n nppp ppp aaa 21 21 21 )( ) 1( 其中)( 21n ppp=， 求和式中共有!n项。 显然有 上三角形行列式 nn nn n n aaa a aa aaa D 2211 222 11211 = 下三角形行列式 nn nnnn aaa aaa aa a D 2211 21 2221 11 = 对角阵 n n D 21 2 1 = 另外 n nn n D 21 2 ) 1( 2 1 ) 1( = 例 3计算行列式 0010 0200 1000 000 n D n n = 解D

3、n中不为零的项用一般形式表示为 112211 ! nnnnn aaaan =. 该项列标排列的逆序数t（n1n21n）等于 (1)(2) 2 nn ，故 (1)(2) 2 ( 1)!. nn n Dn = 3 3利用行列式的性质计算利用行列式的性质计算 性质 1行列式与它的转置行列式相等, 即 T DD=。 注 由性质 1 知道， 行列式中的行与列具有相同的地位， 行列式的行具有的性质, 它的列也同样具有。 性质 2交换行列式的两行(列)，行列式变号。 推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零。 性质 3用数k乘行列式的某一行(列), 等于用数k乘此行列式, 即 kD aaa

4、aaa aaa k aaa kakaka aaa D nnnn inii n nnnn inii n = 21 21 11211 21 21 11211 1 。 第i行(列)乘以k，记为kri(或kci)。 推论 1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 推论 2行列式中若有两行（列）元素成比例,则此行列式为零。 性质 4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如， nnnn ininiiii n aaa cbcbcb aaa D 21 2211 11211 +=。 则 21 21 21 11211 21 21 11211 DD aaa ccc aaa aaa b

5、bb aaa D nnnn inii n nnnn inii n +=+= 。 性质 5将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应 位置的元素上，行列式不变。 例 4计算 xaa axa aax Dn =。 解 xaa axa anxD n rrr n 111 ) 1( )( 21 += + ax ax anx += 00 00 111 ) 1( 1 )() 1( += n axanx 例 5一个 n 阶行列式 nij Da=的元素满足 , ,1,2, , ijji aai jn= = 则称 n D为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由 ijji aa=

6、 知 iiii aa= ，即 0,1,2, ii ain= 故行列式 n D可表示为 12131 12232 13233 123 0 0 0 0 n n nn nnn aaa aaa Daaa aaa = 由行列式的性质 T DD= 12131 12232 13233 123 0 0 0 0 n n nn nnn aaa aaa Daaa aaa = 12131 12232 13233 123 0 0 ( 1)0 0 n n n n nnn aaa aaa aaa aaa = ( 1)n n D= 当 n 为奇数时，得 nn DD=，因而得0= n D。 4 4利用行列式按行（列）展开利用行列

7、式按行（列）展开 =+ jninjiji AaAaAa 2211 ), 2 , 1,( 0 nji ji jiD = = 例 6计算 1314 2113 1102 3351 =D。 解 3401 2113 1102 72016 =D 341 112 7216 ) 1( 23 = + 55 17 520 ) 1)(1( 107 112 5020 ) 1( 22 = = = + 5 5利用化上三角形法利用化上三角形法 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。 因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 一般的数字元素的行列式化为上三角形行列式的步骤： （1）观察

8、元素 11 a，若不为1通过变换化为1； （这可以通过对调两行或两列实现，有时 也可以把第一行或第一列乘 11 1 a 来实现，但要避免元素变为分数，否则将给后面的计算增加 困难。 ） （2）对第一行分别乘 13121 , n aaa加到第n, 3 , 2行对应元素上去； （目的：第一 列 11 a以下的元素全部化为零） （3）用类似的方法把主对角线元素 13121 , n aaa以下的元素全部化为零。 这样行列式就化为上三角形行列式了，在上述变换过程中，主对角线元素 ), 2 , 1( ,niaii=不能为零，若出现零，可通过行（列）对调使得主对角线上元素不为零。 例 7计算 1314 21

9、13 1102 3351 =D。 解 119210 1110160 55100 3351 =D 1110 3200 1120 3351 5 = 1120 3200 1110 3351 )5( = 1300 3200 1110 3351 )5( = 2 11 000 3200 1110 3351 )5( =55= 6 6利用递推公式利用递推公式 递推公式法：对n阶行列式 n D找出 n D与 1n D或 n D与 21,nn DD之间的一种关系 称为递推公式（其中, n D 21,nn DD等结构相同） ，再由递推公式求出 n D的方法称为递 推公式法。 例 8证明 1221 1000 0100

10、 0001 n nnn x x D x aaaaax = + 12 121 ,(2) nnn nn xa xa xaxan =+ 证明：将 n D按第 1 列展开得 12321 1000 0100 0001 n nnn x x Dx x aaaaax = + 1 1000 100 ( 1) 001 n n x a x + + 1nn axD =+ 由此得递推公式： 1nnn DaxD =+，利用此递推公式可得 112 () nnnnnn DaxDax axD =+=+ 2 12nnn aaxx D =+ 1 11 nn nn aaxa xx =+ 7 7利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式利

11、用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式 范德蒙行列式 11 1 1 2 1 1 22 1 2 2 2 1 121 1111 = n n n n nn nn nn n xxxx xxxx xxxx D = 8 8利用加边法计算利用加边法计算 n n 阶行列式阶行列式 加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。 例 10计算 n 阶行列式 12 12 12 12 n n nn n xaaa axaa Daaa aaxa + + = + 解： 1 1 0 0 n n n aa D D = 12 1 100 2,1 100 100 n i aaa x inx x =+ 第

12、 行减第1行 （箭形行列式） 12 1 1 000 000 000 n j n j a aaa x x x x = + = 1 1 n jn j a x x = =+ 9 9利用数学归纳法利用数学归纳法 例 11计算 n 阶行列式 1221 1000 0100 0001 n nnn x x D x aaaaax = + 解：用数学归纳法. 当 n = 2 时 212 21 1 () x Dx xaa axa =+ + 2 12 xa xa=+ 假设 n = k 时，有 12 121 kkk kkk Dxa xa xaxa =+ 则当 n = k+1 时，把 1+k D按第一列展开，得 11kk

13、k DxDa + =+ 1 111 () kk kkk x xa xaxaa + =+ 12 111 kk kkk xa xaxa xa + + =+ 由此，对任意的正整数 n，有 12 121 nn nnnn Dxa xaxaxa =+ 1010利用拆开法利用拆开法 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两 行列式之和，使问题简化以利计算。 例 12计算行列式 n D= 112 122 12 n n nn aaa aaa aaa + + + 解： n D= 12 122 12 n n nn aaa aaa aaa + + 12 22 0 00 n n nn aa aa a + + + 12 2 0 00 n n n aaa a = 11n D + 1211nn aD =+ 12 1 1 n i n i i a = =+ 上面介绍了计算 n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把 握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，由此及彼，举一反三，才能更好 地掌握行列式的计算。