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1、滚动小专题(七)与圆有关的计算与证明类型1与圆的基本性质有关的计算与证明1如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D为O上一点，ODAC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分ABC；(2)当ODB30时，求证：BCOD.证明：(1)ODAC，OD为半径，.CBDABD.BD平分ABC.(2)OBOD，OBDODB30.AODOBDODB303060.又ODAC于E，OEA90.A180OEAAOD30.又AB为O的直径，ACB90.在RtACB中，BCAB.又ODAB，BCOD.2(2018温州)如图，D是ABC的BC边上一点，连接AD，作ABD的外接圆，将ADC沿直线AD折叠，点C的对
2、应点E落在O上(1)求证：AEAB；(2)若CAB90，cosADB，BE2，求BC的长解：(1)证明：由题意，得ADEADC，AEDACD，AEAC.ABDAED，ABDACD.ABAC，AEAB.(2)过点A作AHBE于点H.ABAE，BE2.BHEH1.ABEAEBADB，cosADB，cosABEcosADB.ACAB3.BAC90，ACAB，BC3.3(2018包头)如图，在RtACB中，ACB90，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交A于点E，连接CD，CE，F是A上一点，点F与点C位于BE两侧，且FABABC，连接BF.(1)求证：BCDBEC；(2)若BC
3、2，BD1，求CE的长及sinABF的值解：(1)证明：ACB90，BCDACD90.DE是A的直径，DCE90.BECCDE90.ADAC，CDEACD.BCDBEC.(2)BCDBEC，CBDEBC，BDCBCE.BC2，BD1，BE4，EC2CD.DEBEBD3.在RtDCE中，DE2CD2CE29.CD.CE.过点F作FMAB于点M，FABABC，FMAACB90，AFMBAC.DE3，ADAFAC，AB.FM.过点F作FNBC于点N，FNC90.FABABC，FABC.FACACB90.四边形FNCA是矩形FNAC，NCAF，BN.在RtFBN中，BF，在RtFBM中，sinABF.
4、类型2与圆的切线有关的计算与证明4(2018滨州)如图，AB为O的直径，点C在O上，ADCD于点D，且AC平分DAB.求证：(1)直线DC是O的切线；(2)AC22ADAO.证明：(1)连接OC.OAOC，OACOCA.AC平分DAB，OACDAC.DACOCA.OCAD.又ADCD，OCDC.OC为O的半径，DC是O的切线(2)连接BC.AB为O的直径，AB2AO，ACB90.ADDC，ADCACB90.又DACCAB，DACCAB.，即AC2ABAD.AC22ADAO.5(2017金华)如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，CD是O的切线，ADCD于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于
5、点F，连接OC，AC.(1)求证：AC平分DAO；(2)若DAO105，E30.求OCE的度数；若O的半径为2，求线段EF的长解：(1)证明：直线CD与O相切，OCCD.又ADCD，ADOC.DACOCA.又OCOA，OACOCA.DACOAC.AC平分DAO.(2)ADOC，EOCDAO105，E30，OCE45.过点O作OGCE于点G，可得FGCG.OC2，OCE45，OGCG2.FG2.在RtOGE中，E30，GE2.EFGEFG22.6(2018苏州)如图，AB是O的直径，点C在O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E，延长DA交O于点F，连接FC，FC与AB相交
6、于点G，连接OC.(1)求证：CDCE；(2)若AEGE，求证：CEO是等腰直角三角形证明：(1)连接AC.CD为O的切线，OCCD.又ADCD，DCOD90.ADOC，DACACO.又OCOA，CAOACO.DACCAO.又CEAB，CEA90.在CDA和CEA中，CDACEA(AAS)CDCE.(2)证法一：连接BC.CDACEA，DCAECA.CEAG，AEEG，CACG.ECAECG.AB是O的直径，ACB90.又CEAB，ACEB.又BF，FACEDCAECG.又D90，DCFF90.FDCAACEECG22.5.AOC2F45.CEO是等腰直角三角形证法二：设Fx，则AOC2F2x
7、.ADOC，OAFAOC2x.CGAOAFF3x.CEAG，AEEG，CACG.EACCGA.DACEACCGA3x.又DACEACOAF180，3x3x2x180.x22.5.AOC2x45.CEO是等腰直角三角形7(2017孝感)如图，O的直径AB10，弦AC6，ACB的平分线交O于D，过点D作DEAB交CA的延长线于点E，连接AD，BD.(1)由AB，BD，围成的曲边三角形的面积是；(2)求证：DE是O的切线；(3)求线段DE的长解：(2)证明：连接OD.CD平分ACB，ACDBCD.ADDB.又AB为直径，ADDB，ADB90.ODAB.DEAB，ODDE.又OD为O的半径，DE是O的
8、切线(3)AB10，AC6，BC8.过点A作AFDE于点F，则四边形AODF是正方形，AFODFD5，BAF90.EAFCAB90，ABCCAB90，EAFABC.tanEAFtanABC.，即.EF.DEDFEF5.8(2018株洲)如图，已知AB为O的直径，AB8，点C和点D是O上关于直线AB对称的两个点，连接OC，AC，且BOC90，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且GAFGCE.(1)求证：直线CG为O的切线；(2)若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CBCH.求证：CBHOBC；求OHHC的最大值解：(1)证明：C，
9、D关于AB对称， GAFCAF.GAFGCE，GCECAF.OAOC，CAFACO.GCEACO.AB为直径，ACOOCB90.GCEOCB90，即OCG90.又OC为O的半径，CG为O的切线(2)证明：OCOB，CHBC，OCBOBC，CHBCBH，CBHOBCOCBCHB.CBHOBC.CBHOBC，.BH.设BCx，则CHx，BH.OHHCx2x4(x2)25.当x2时，OHHC的最大值为5.9(2018娄底)如图，C，D是以AB为直径的O上的点，弦CD交AB于点E.(1)当PB是O的切线时，求证：PBDDAB；(2)求证：BC2CE2CEDE；(3)已知OA4，E是半径OA的中点，求线段DE的长解：(1)证明：AB是O的直径，ADB90，即DABABD90.PB是O的切线，ABP90，即PBDABD90.DABPBD.(2)证明：AC，AEDCEB，ADECBE.，即DECEAEBE.连接OC.设圆的半径为r，则OAOBOCr，则DECEAEBE(OAOE)(OBOE)r2OE2.，AOCBOC90.CE2OE2OC2OE2r2，BC2BO2CO22r2，则BC2CE22r2(OE2r2)r2OE2.BC2CE2DECE.(3)OA4，OBOCOA4.BC4.又E是半径OA的中点，AEOE2.则CE2.BC2CE2DECE，(4)2(2)2DE2.DE.7
