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1、第18讲相似三角形重难点 相似三角形的性质与判定 (2018包头)如图，在ABCD中，AC是一条对角线，EFBC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE2EB，连接DF.若SAEF1，则SADF的值为【思路点拨】要求SADF，由已知条件EFBC，3AE2BE，可得到AF与AC的数量关系，进而转换到SADF与SADC的数量关系，而由平行四边形的性质知，SADC SABC，由EFBC，3AE2BE，SAEF1，结合相似三角形的性质，得SABC，则SADF即可求出求三角形面积常用方法 如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，AFBE于点F，连接DF.(1)求证：DE2 BEEF
2、；(2)求EFD的度数【思路点拨】(1)要证DE2EFBE，而由已知条件知DEAE，AE2EFBE，即，观察发现，这四条边恰好在ABE和FAE中，故只需证明ABEFAE，由相似三角形的性质即可使问题得证；(2)要求EFD的度数，而已知条件中并未告诉已知角，故要在正方形中构造已知角并将EFD进行转换由(1)知，而DEFBED，故连接BD，可证DEFBED，由相似三角形的性质即可求出EFD的度数【自主解答】解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，BAE90.AFBE，AFE90.BAEAFE.又AEFAEB，AEFBEA.，即AE2BEEF.E为AD的中点，AEDE.DE2BEEF.(2)连接BD
3、，则EDB45.由(1)得，.又DEFBED，DEFBED.EFDEDB45.1判定三角形相似的思路2证明等积时，先由比例的基本性质，化等积式为比例式，然后把比例式，左侧(或分子)，右侧(或分母)放入两个三角形中，证明两个三角形相似即可，如不能放入两个三角形中，可找到相等边代换或寻找中间比3求某个三角的边长或角度时，可借助条件，确定未知三角形(即包含所求边又有某个已知条件)与已知三角形相似，利用相似三角形的性质求解考点1比例线段1(2018白银)已知(a0，b0)，下列变形错误的是(B)A. B2a3b C. D3a2b2(2018成都)已知，且ab2c6，则a的值为12. 考点2黄金分割3如
4、图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是(A)A. B. C. D.考点3平行线分线段成比例4(2018哈尔滨)如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GEBD，且交AB于点E，GFAC，且交GD于点F，则下列结论一定正确的是(D)A. B. C. D.5(2018嘉兴)如图，直线l1l2l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F.已知，则2考点4相似三角形的性质6(2018重庆A卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6
5、 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(C) A3 cm B4 cm C4.5 cm D5 cm7(2017连云港)如图，已知ABCDEF，ABDE12，则下列等式一定成立的是(D)A. B.C. D.8(2018荆门)如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE相交于点G.则SEFGSABG(C)A13 B31 C19 D919(2018重庆B卷)制作一块3 m2 m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是(C)A360元 B720元 C
6、1 080元 D2 160元10(2018资阳)如图，ABC的面积为12，点D，E分别是AB，AC的中点，则四边形BCED的面积为9考点5相似三角形的判定11(2018永州)如图，在ABC中，点D是AB边上的一点，ADCACB，AD2，BD6，则边AC的长为(B)A2 B4 C6 D812如图，在ABC中，ACB90，CD是AB边上的高如果BD4，CD6，那么BCAC是(B)A32 B23 C3 D213(2018邵阳)如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：答案不唯一，如EFCAFD，EABAFD，EFCEAB14(2
7、018北京)如图，在矩形ABCD中，点E是AB边的中点，连接DE交对角线AC于点F.若AB4，AD3，则CF的长为15(2018巴中)如图，O的两弦AB，CD相交于点P，连接AC，BD，得SACPSDBP169，则ACBD4316(2018杭州)如图，在ABC中，ABAC，AD为BC边上的中线，OEAB于点E.(1)求证：BDECAD；(2)若AB13，BC10.求线段DE的长解：(1)证明：ABAC，BC.又AD为BC边上的中线，ADBC，DEAB，BEDCDA90.BDECAD.(2)BC10，BD5.根据勾股定理，得AD12.BDECAD，.DE.考点6相似三角形的实际应用17(2018
8、义乌)学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知ABBD，CDBD.垂足分别为B，D，AO4 m，AB1.6 m，CO1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(C)A0.2 m B0.3 m C0.4 m D0.5 m18(2018陕西)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线已知：CBAD，EDAD，测得BC1 m，DE1.5 m，BD8.5 m测量示意图如图所示请根
9、据相关测量信息，求河宽AB.解：CBAD，EDAD，CBAEDA90.CABEAD，ABCADE.AB17，即河宽为17 m.19(2018泸州)如图，在正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G.若AE3ED，DFCF，则的值是(C)A. B. C. D.20(2018扬州)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰RtABC和等腰RtADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论：BAECAD；MPMDMAME；2CB2CPCM.其中正确的是(A)A B C D21(2018盐城)如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，P，Q分别为边BC，AB上的两个
10、动点若要使APQ是等腰三角形，且BPQ是直角三角形，则AQ或22(2018咸宁)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”理解：(1)如图1，已知RtABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D.使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形；(保留画图痕迹，找出3个即可)图1图2图3(2)如图2，在四边形ABCD中，ABC80，ADC140，对角线BD平分ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：(3)如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，EFHH
11、FG30，连接EG.若EFG的面积为2，求FH的长解：(1)如图所示(2)证明：ABC80，BD平分ABC，ABDDBC40.AADB140.ADC140，BDCADB140.ABDC.ABDDBC.BD是四边形ABCD的“相似对角线”(3)FH是四边形EFGH的“相似对角线”，EFHHFG.FH2FEFG.过点E作EQFG，垂足为Q.EFHHFG30，EFQ60.则EQFEsin60FE.FGEQ2，FGFE2.FGFE8.FH2FEFG8.FH2.23(2018泰安)九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步A的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为步7
