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1、 学习 让人生更美好 www.zhixue.org高一年级 数学第 7 课时 课题：解斜三角形【教学目标】（1）掌握正余弦定理的应用；（2）掌握解三角形的题型。【教学重难点】理解并熟练掌握正余弦定理、应用题型【知识点归纳】一、正弦定理1、三角形面积公式： S=absinC=bcsinA=acsinB2、正弦定理 =2R（R为ABC的外接圆的直径）3、 正弦定理的几种常见变形应用 （1）asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA；（2）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；（3）sinA=，sinB=，sinC=；（4）a：b：c=sinA：sinB：
2、sinC【例题精讲】【例1】已知中，求.【练习】已知在中，求（结果保留两位小数）.【例2】已知中，,外接圆半径,求【练习】已知中，,求【基础练习】1在ABC中，已知a=8，B=60，C=75，则b= 。2已知在ABC中，c=10，A=45，C=30，求a、b和B。3在ABC中，已知a=，b=，B=45，求A，C和c的长。二、余弦定理1、a=b+c2bccosA， b=c+a2accosB， c=a+b2abcosC2、 余弦定理的变形公式 cosA=，cosB=，cosC=【例题精讲】【例3】已知在中，求【练习】已知中，,且最大边长和最小边长恰好是方程的两根，求第三边.【例4】在中，三条边长，
3、求实数的取值范围？【练习】钝角三角形的三边分别是，且最大内角不超过，求实数的取值范围？【例5】已知中，边BC 上的中线，求边长【练习】（1）设P是正方形ABCD内一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是求正方形的面积？（2）设P是正方形ABCD内一点，求的大小？【基础练习】1、在ABC中，a=b+c+bc，则A= 。2、在ABC中，已知：a=2，b=2，C=15，求角B和边c。3、已知ABC中，a：b：c=2：（+1），求ABC各角的弧度数。三、解三角形在实际问题中的应用1、 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：2、 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：3、 三角形的面积
4、公式总结：4、 三角形内切圆的半径：5、 三角形中的射影定理：6、 两内角与其正弦值:7、 三内角与三角函数值得关系：【例题精讲】【例6】已知是内的一点，它到两边的距离分别是2和11，求OQ的长？【练习】（1）在中，已知分别是内角A，B,C所对的三边；求证：.（2） 在中，已知和，求（用表示）.【例7】在三角形ABC中，若,试判断三角形的形状，并说明理由？【练习】判断下列三角形的形状：（1）（2）；（3）；（4).【例8】已知在中，BC=1，试证明：过边BC上的任意一点D，可以作出以D为顶点的内接正三角形（三顶点分别在三边上的正三角形），并求内接正三角形的周长的最小值？【练习】（1）已知中，求
5、的最大值?(2)已知中，求的周长的最小值及面积的最大值？【课后练习1】1、隔河看两地A与B但不能到达，在岸边选取相距千米C、D两点，测得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B之间的距离。2、在山脚测得山顶仰角CAB=45，沿坡度为30的斜坡走1 000m至D点，又测得山顶仰角BDE=75，求山高BC。3、在海岸处，发现北偏东45方向，距离（1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距离A 2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船。此时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方
6、向能最快追上走私船？【课后练习2】1在ABC中，3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1，求C。2已知，在ABC中，满足acosA=bcosB，试判定ABC的形状。3要使a，a+1，a+2为钝角三角形的三边，求a的取值范围。【拓展讲解】注意：正弦定理可以解决的两类问题：1已知两角和任一边，求其他的角和边2已知两边和其中一边的对角，求另一边和另一边的对角余弦定理可以解决的两类问题1已知三边，求三个角2已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角求三角形外接圆半径的常用方法1直角三角形2正弦定理解三角形常用关系式1三角形内角和等于1802三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3
7、三角形中大边对大角，小边对小角4两角和与差的三角比值在三角形中的变式 sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=cosC，tan（A+B）=tanCsin=cos，cos=sin，tan=cot【练习一】1在ABC中，已知a=，b=4，A=30，则B= 。2在ABC中，c=6，b=，A=60，则S= 。3在ABC中，已知AB=3，BC=5，AC=7，则B= 。4在ABC中，已知BC=12，A=60，B=45，则AC= 。5在ABC中，已知a=2，c=2，C=30，则S= 。6在ABC中，已知b=3，c=3，B=30，则a= 。7已知下列条件解三角形，其中有唯一解的是 （ ）（A）a=20，
8、b=28，A=40（B）a=18，b=20，A=150（C）b=20，c=34，B=70（D）b=60，c=50，B=458 在ABC中，若=，则ABC是 （ ） A直角三角形 （B）等边三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰直角三角形9 解下列三角形：（1）在ABC中，a=2，A=30，B=45，求b，S；（2）在ABC中，a=2，B=45，S=3+，求A，C，b，c10如图所示，在ABC中，AC=2，BC=1，cosC= （1）求AB的值； （2）求sin（2A+C）的值11在ABC中，求证：+=212 在某点B处测得古塔AE的顶端A的仰角为，延BE方向前进30 m到达点C，在C处测得顶端A
9、的仰角为2，继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小及塔高AE【知识点归纳】1、三角形面积公式2、正弦定理及其扩充3、余弦定理【例题讲解】例1、设中，则的值是 （ ）A B C D 或例2、在中，已知，求的大小。例3、在中，外接圆的半径，求的周长。例4、在中，已知，求a与c的长。例5、根据下列条件，确定三角形的形状:（1） ；（2）且；（3）；（4）且。例6、在中，已知，求证: 为直角三角形。例7、在与水平方向成角的斜坡上有一座塔AD，从B、C测得塔的张角分别为与，若，求塔高AD。例8、如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形AOB 小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有
10、一条平行于BO的小路CD 已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)。v回顾反思1、主要方法：正确区分两个定理的不同作用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解；两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式；余弦定理中，涉及到四个量，利用方程思想，知道其中的任意三个量可求出第四个量；余弦定理还有很多地方的应用，如立体几何中求球面距离2、易错、易漏点:三角形的内角和定理检验增根；特别注意一些有关的术语，如坡度、仰角、俯角、方位角 其中以特定基准方向为起点(一般为北方)
11、，依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，两者所夹的角度称之为方位角，方位角的取值范围是课后练习1、在锐角三角形中，若，则t的取值范围是 （ ）A B C D 2、在中，则的范围是 （ ）A B C D 3、在中（1） ，则_；（2），则的取值范围是_。4、在中（1）若，则的形状为_；（2）若，则的形状为_。5、两条笔直的公路相交成角，两辆汽车P、Q同时从角的顶点出发，分别沿两条公路行驶，已知汽车P的速度是每小时48千米 若要使这两辆汽车在出发1小时后相距43千米，那么汽车Q的行驶速度应为_千米/小时。6、在中，已知，求此三角形最大角的大小。7、在中，已知，外接圆半径R为，求边c。8、已知边长为a
12、的正方形ABCD，点P、Q分别在BC、CD边上，且，求四边形APCQ面积的最大值。9、如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若，设的面积为，正方形的面积为。（1） 用表示、；（2）当a固定，变化时，求取最小值时的角。【附加题】1、等腰三角形的顶角的正弦为，则底角的正弦大小为_2、在中，若，则的取值范围是_3、锐角三角形中，若，则c的取值范围是_4、在中，若，确定的形状。5、在中，内有一点D，使，且问当为何值时，与的面积之差有最大值? 求出这个最大值。6、在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，求角B的取值范围。第 13 页 共 13 页
