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1、平面向量题型总结(2015版)题型一:定义判断1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量
2、平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；三点共线共线；6 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。例1.平面向量共线的充要条件是（ ）A.方向相 同 B. 两向量中至少有一个为零向量 C.存在 D存
3、在不全为零的实数例2.下列命题正确的是（ ）A、若，且，则。B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。C、向量的长度与向量的长度相等 。 D、若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线。例3.给出下面四个命题：对于任意向量a、b，都有|ab|ab成立；对于任意向量a、b，若a2=b2，则a=b或a= -b；对于任意向量a、b、c，都有a(bc)=(bc)a成立；对于任意向量a、b、c，都有a(bc)=(ba)c成立.其中错误的命题共有 .例4.给出下列命题:若a2+b2=0,则a=b=0;已知AB,则已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|ac|=|bc|已知,e1,e2是
4、一组基底,a=1e1+2e2则a与e1不共线,a与e2也不共线;其中正确命题的序号是 .例5如果e1、 e2是平面内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（ ）e1e2(, R)可以表示平面内的所有向量；对于平面中的任一向量a,使a=e1e2的, 有无数多对；若向量1e1+1e2与2e1+2e2共线,则有且只有一个实数k,使2e1+2e2=k(1e1+1e2)；若实数, 使e1e2=0，则=0.A. B C D仅真题：（2014北京东城区统一检测）若a，b是两个非零向量，则|a+b|a-b|是的 条件（2013年高考广东卷（文）设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:给定向
5、量,总存在向量,使;给定向量和,总存在实数和,使;给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（）A1B2C3D4（15北京文科）设，是非零向量，“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件（15年安徽文科）是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论中正确的是 。（写出所有正确结论得序号）为单位向量；为单位向量；（15年陕西理科）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）A B C D题型二：平面向量基本定理及基底的相关应用平面向量的
6、基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）向量中三终点共线存在实数使得且ABNMDC例6.如图,ABCD是一个梯形, M、N分别是的中点,已知a,b,试用a、b表示和例7.在OAB中，延长BA到C，使ACBA，在OB上取点D，使DBOB.DC与OA交于E，设a，b，用a，b表示向量，.例8.已知在ABC中，点E为AC的中点，CD与BE交于点F，试用与表示.例9.在
7、平行四边形中，M, N分别为，的中点，已知，试用表示。例10.在三角形ABC中，点D在边AB上，CD平分角ACB,，,则( )A. B. C. D. 三点共线定理的应用：例11.在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，DE与AF交于点H,设则A. B. C. D. 例12.在ABC中， AB.CD1例13.若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得x2x0，实数x为( )A1 B0 C. D.例14.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，则等于( )A.ab B.ab C.ab D.ab例15.在
8、中，N是AC边上的一点，且,P是BN上的一点，若,则实数m的值为 .例16.已知是的外心，若，则的值为（ ）A2 B C D例17.若向量,现用a、b表示c,则c= .真题：（湖南六校联考2014）设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且2ij，4i3j，则OAB的面积等于_（2015洛阳市统考）已知直角坐标系内的两个向量使平面内的任意一个c都可以唯一的表示成，则m的取值范围是 .题型三：向量的几何运算及三角形的四心向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量
9、叫做与的和，即；向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。在中：若，则其重心的坐标为为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；例18.若正方形的边长为1，则_例19.若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为_内心例20.O是ABC所在平面内一定点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 例21.已知非零向量与满足，且，则ABC为（ ）A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形重心例22.O是AB
10、C内一点，则为ABC的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 垂心例23.是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 外心例24.已知点O，N，P在ABC所在平面内，且，则O，N，P依次是ABC的（ ）A. 重心、外心 、垂心 B. 重心、外心 、内心 C. 外心 、重心、垂心 D. 外心 、重心、 内心题型四：平面向量坐标运算及共线问题设，则：向量的加减法运算：，。实数与向量的积：。若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。平面向量数量积：。如：向量的模：。如两点间
11、的距离：若，则向量的运算律：1交换律：，；2结合律：，；3分配律：，。例25.设，且，则C、D的坐标分别是_例26.与向量 =(12,5)平行的单位向量为 例27.已知，求证：三点共线。例28.设，求证：三点共线真题：（2013年高考辽宁卷（文）已知点 （2014滁州市统考）已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夹角；（2）若x，函数的最大值为，求的值。题型五：求参量的值向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝
12、角的必要非充分条件；非零向量，夹角的计算公式：；。提醒：（1） 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？向量平行(共线)的充要条件：0。向量垂直的充要条件： .例29.已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b与c共线，则k_.例30.已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则_.例31.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.例32.已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2, 若ab0，则实数k的值为_真题：（15年福建文科）设，若，则实数的值等于（ ）A B C D（15年新课标2理科）设向量，不平行，向量与平行
