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1、初二下期末几何及解析1、以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是_；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，EGD是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出EGD的度数难度一般：证全等即可（第三问，图1中就能看出是45。）解 （1）EB=FD。（2）EB=FD。证：AFB为等边三角形,AF=AB，FAB=60ADE为等边三角形，AD=AE，EAD=6
2、0,FAB+BAD=EAD+BAD即FAD=BAE,FADBAE,EB=FD（3）解：ADE为等边三角形，AED=EDA=60FADBAE，AEB=ADF设AEB为x，则ADF也为x于是有BED为（60-x），EDF为（60+x）EGD=180-BED-EDF=180-（60-x）-（60+x）=602、已知：如图，在ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF（1）求证：ABEFCE；（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形简单题证明：（1）如图1图1在ABE和FCE中，1=2， 3=4，BE=CE，ABEFCE（2）ABEFCE，AB=FCABFC，四边
3、形ABFC是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形，AD=BCAF=AD，AF=BC四边形ABFC是矩形3、已知：ABC是一张等腰直角三角形纸板，B=90，AB=BC=1（1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在ABC的边上小林设计出了一种剪法，如图1所示请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来图4图3图2图1（2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为，则=_；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3），图2得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和记为，则=_；在余下的4个三角形
4、中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和记为；按照同样的方法继续操作下去，第次裁剪得到_个新的正方形，它们的面积的和=_（题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。）本题相当于中考12题的简单题解：（1）如图2； -1分（2）， -6分4、已知：如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A在轴的正半轴上运动，顶点D在轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP（1）当OA=OD时，点D的坐标为_，POA=_；（2）当OAOD时，求证：OP平
5、分DOA；（3）设点P到y轴的距离为，则在点A，D运动的过程中，的取值范围是_（第二问：如果点P到OP“所平分的角”的两边的距离相等，即可。）（第二问的题外题：当OAOD时，求证：OP平分DOA；）解：（1）()，； 图3证明：（2）过点P作PM轴于点M，PN轴于点N（如图3）四边形ABCD是正方形， PD=PA，DPA=90 PM轴于点M，PN轴于点N，PMO=PNO=PND=90NOM=90，四边形NOMP中，NPM=90DPA=NPM1=DPANPA，2=NPMNPA，1=2 在DPN和APM中， PND =PMA，1=2，PD=PA，DPNAPM PN=PM OP平分DOA （3） -
6、5、已知：如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4,0），（0,3）将OCA沿直线CA翻折，得到DCA，且DA交CB于点E（1）求证：EC=EA；（2）求点E的坐标；（3）连接DB，请直接写出四边形DCAB的周长和面积（第二问，有坐标，用代数法勾股定理可得CE=AE的长）（第三问的证明：过D做DMAC于M，过B做BNCA于N，则由相似可得，DM=BN=梯形的高（能求出具体数），CM=AN（具体数）还看得DB=MN（具体数）这样即可求出周长，有可求出面积。）证明：（1）如图1OCA沿直线CA翻折得到DCA，OCADCA 1=2四边形OABC是矩形，OACB1=32=3EC
7、=EA 解：（2）设CE= AE=点A，C的坐标分别为（4,0），（0,3），OA=4，OC=3四边形OABC是矩形，CB=OA=4，AB=OC=3，B=90在RtEBA中，解得 点E的坐标为() （3）， 6、已知：ABC的两条高BD，CE交于点F，点M，N分别是AF，BC的中点，连接ED，MN（1）在图1中证明MN垂直平分ED；（2）若EBD=DCE=45（如图2），判断以M，E，N，D为顶点的四边形的形状，并证明你的结论图2第一问，连接EM，EN，DM，DN，利用三角形斜边中线等于斜边一半得，ME=MD，NE=ND，所以点M、N都在线段ED的垂直平分线上。（有ADFBDC，得AF=BC，
8、（还得MDA=NDB，证直角时用），进而得菱形，再证一直角得正方形，）（1）证明：连接EM，EN，DM，DN（如图2）BD，CE是ABC的高，BDAC，CEABBDA=BDC=CEB=CEA=90 在RtAEF中，M是AF的中点，EM=AF同理，DM=AF，EN=BC，DN=BCEM=DM， EN=DN 点M，N在ED的垂直平分线上MN垂直平分ED 图3 （2）判断：四边形MEND是正方形 证明：连接EM，EN，DM，DN（如图3）EBD=DCE=45，而BDA=CDF=90，BAD=ABD=45，DFC=DCF=45AD=BD，DF=DC在ADF和BDC中， AD=BD， ADF=BDC，（
9、Rt） DF=DC，ADFBDC AF=BC，1=2由（1）知DM=AF=AM，DN=BC=BN，DM=DN，1=3，2=43=4由（1）知EM=DM，EN=DN，DM=DN=EM=EN四边形MEND是菱形 3+MDF=ADF=90，4+MDF=NDM=90四边形MEND是正方形 7、（6分）如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH。（1）求证：APBBPH；（2）求证：APHCPH；（3）当AP1时，求PH的长。第一问，设EPB=EBP=m，则BPH=90
10、-m，PBC=90-m，所以BPH=PBC，又因为APB=PBC，所以，APB=BPH。第二问的题外题：将此题与北京141之东城22和平谷24 放在一起，旋转翻折共同学习；此题中用旋转把ABP绕点B顺时针旋转90不能到达目的，于是延BP翻折，翻折后的剩余部分BQH与BCH也可全等，即可到达目的，还有意外收获：证得PBH=45。第三问，代数方法的勾股定理。（1）证明：PEBE，EPBEBP，又EPHEBC90，EPHEPBEBCEBP。即BPHPBC。又四边形ABCD为正方形，ADBC，APBPBC。APBBPH。（2分）（2）证明：过B作BQPH，垂足为Q，由（1）知，APBBPH，又ABQP
11、90，BPBP，ABPQBP，APQP，BABQ。又ABBC，BCBQ。又CBQH90，BHBH，BCHBQH，CHQH，APHCPH。（4分）（3）由（2）知，APPQ1，PD3。设QHHC，则DH。在RtPDH中，即，解得，PH3.4（6分）8、（6分）如图，在ABC中，ACAB，D点在AC上，ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC60，联结GD，判断AGD的形状并证明。（也可问ADG的度数。）判断：AGD是直角三角形。证明：如图联结BD，取BD的中点H，联结HF、HE，F是AD的中点，13。同理，HE/CD，HE，2EFC。ABCD，HF
12、HE，12，3EFC。EFC60，3EFCAFG60，AGF是等边三角形。AFFGAFFD，GFFD，FGDFDG30，AGD90，即AGD是（特殊）直角三角形。（GE=BG-BE，GH是直角三角形的斜边，这样证全等。）10、阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD是ABC的中线， 点M为BC边上任意一点（不与点D重合），过点M作一直线，使其等分ABC的面积他的做法是：如图1，连结AM，过点D作DN/AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线D图1MBANC 请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）如图2，在四边形ABCD中，AE平分ABCD的面积，M为CD边上一点，过M作一直线MN，使其等分四边形ABCD的面积（要求：在图2中画出直线MN，并保留作图痕迹）；图3图2（2）如图3，求作过点A的直线AE，使其等分四边形ABCD的面积（要求：在图3中画出直线AE，并保留作图痕迹）（第二问，把ABC的面积接到DC的延长线上。）11、 已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AFDE （1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图2，对角线AC与BD交于点O BD、AC分别与AE、BF交于点G，点H求证：OGOH；连接OP，若AP4，OP，求AB的长 ABCD
