《人教九年级数学第23章-旋转—旋转基础知识及专题(word版-含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教九年级数学第23章-旋转—旋转基础知识及专题(word版-含答案)（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、旋转及综合专题一、旋转相关定义1、定义：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、如果图形上的点 P 经过旋转变为 P1 ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。3、（1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后图形全等。4、把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对
2、称中心，而且被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。6、把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。第 3 页 共 11 页二、旋转相关结论如 图 ， 将 DABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 a 角 到DAB1C1 。点 B 和点 B1 为对应点，点C 和C1 为对 应点。结论 1：旋转中心为对应点所连线段垂直平分 线的交点，也即对应点所连线段的垂直平分线 均经过旋转中心。如图，线段 BB1 的垂直平分 线l1 、线段CC1 的垂直平分线l2 都经过旋转中心点 A 。利用这个结论我们可以利用
3、对应点坐标求出旋转中心的坐标。由于对应点所连线段的 垂直平分线均经过旋转中心，因此只需求出两 组对应点所连线段的垂直平分线解析式，然后 联立即可求出旋转中心坐标。结论 2：对应点与旋转中心所构成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角a。如图， DABB1 和 DACC1 均为等腰三角形， BAB1 = CAC1 = a。结论 3：对应点与旋转中心所构成的三角形均相似。如图， DBAB1 DCAC1 。结论 4：旋转前、后图形全等。如图， DABC DAB1C1 。示例 1：已知 A(-3,2) 、O(0,0) ，将线段OA 绕点 P 旋转得到线段O1 A1 ，其中O1 (-1,-
4、1) 、A1 (-3,-4) ，O1 为点O 的对应点， A1 为点 A 的对应点，求点 P 的坐标。分析：旋转中心为对应点所连线段垂直平分线的交点，因此只要求出线段 AA1 和线段 OO1 的解析 式，然后联立即可求出点 P 的坐标。解析： A(-3,2) ， A1 (-3,-4) 直线 AA1 : x = -3直线 AA1 的垂直平分线l1 : y = -1 O(0,0) ，O1 (-1,-1) 直线OO1 : y = x直线OO1 的垂直平分线l2 : y = - x - 1点 P 为 l1 与 l2 的交点，联立：，可得： P(0,-1) 。点 P 的坐标为 P(0,-1) 。附：在直
5、角坐标系中求线段的垂直平分线的方法（必须掌握知识点） 已知点 A( x1 , y1 ) 和点 B( x2 , y2 ) ，求线段 AB 的垂直平分线l 。 处理方法如下：第一步：根据点 A( x1 , y1 ) 和点 B( x2 , y2 ) 的坐标首先求出直线 AB 的解析式：l1 : y = k1 x + b1 。第二步：设线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式为： l : y = k2 x +b2 。以为 l2 l1 ，所以k1 k2 = -1 ，从而求出k 2 = -，因此线段 AB 的垂直平分线l 的解析式转化为：第三步：根据中点坐标公式直接写出线段 AB 中点 M (,) 。分析：
6、既然直线l 为线段 AB 的垂直平分线，所以直线l 经过线段 AB 的中点，也即线段 AB 的中点在直线 l 上。第四步：将线段 AB 的中点 M (,)代入 l : 中求出 b2 的值。最后将 b2 的值代入中即可求出线段 AB 的垂直平分线的解析式。示例：已知点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，求线段 AB 的垂直平分线 l 。处理方式如下：第一步：由点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，可得直线 AB 的解析式 l1: y = - x + 3 。第二步：设线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式为： l : y = k2 x +b2 。以为 l2 l1 ，所以k1 k2 = -1
7、 ，从而求出k 2 =2 ，因此线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式转化为：l : y = 2 x +b2 。第三步：由点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，可得线段 AB 的中点 M (0,3) 。 第四步：将点 M (0,3) 代入 l : y = 2 x +b2 中可得 b2 = 3 。 因此，最终可得线段 AB 的垂直平分线为 l : y = 2x + 3 。提醒：处理方法需要牢记，另外计算的时候要格外细心，千万不要算错了！三、点绕点旋转90 问题此种问题通过构造两个直角三角形全等，然后利用对应直角边线段长度相等，从而求出对应 点坐标。示例：将点 A(-3,4) 绕点 P(-1,
8、1) 逆时针旋转90 ，求点 A 的对应点 A1 的坐标。 分析：旋转不改变图形线段长度及图形线段的夹角。因此有 PA = PA1 。由于旋转角为90 ， 即 APA1 = 90 ， 因 此 我 们 可 以 就 斜 边 PA = PA1 ，以平行于坐标轴的线段构造两个 直角三角形。很显然，这两个直角三角形时全等三角形。然后利用直角边线段长度关系 即可求出点 A1 的坐标。解析：如图，过点 P 作直线l 平行于 x 轴交 y 轴于点 B ，过点 A 作 AM l 于 M ，过点 A1 作 A1 N l于 N 。易证 DAMP DPNA1 （ ASA ），则有： AM = PN ， PM = A1
9、 N 。 A(-3,4) ， P(-1,1) AM = 3 ， PM = 2 ， PB = 1 N (2,1) A1 (2,3) 。四、旋转示例解析（理解如何利用线段旋转带动线段所在三角形旋转）在解决旋转相关题型时，最常见的是将等腰三角形中一腰旋转至与另一腰重合，从而利用等 腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，进而构造全等三角形，再利用旋转知识 解决相关问题。因此，在处理此类题型时，同学们尤其要注意题干中是否说明某某三角形为等腰 三角形，尤其注意等腰直角三角形、等边三角形、正方形、顶角为特殊角的等腰三角形，遇到以上三角形时，同学可以考虑以下利用旋转来解题。以下通过一些实例来帮助同
10、学们理解如何利用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在 的三角形转动，从而构造全等三角形进而利用旋转知识解决相关问题。例 1：已知如图 DACB ，ACB = 90 ， AC = AB ， PA = 3 ， PC = 2 ， PB = 1 ，求 BPC 的度数？ 分析：这里明显可以判断 DACB 为等腰直角三角形，因此可以利用将其中一腰旋转至与另一腰重 合，构造全等三角形。图（1）图（2）解析：图（1）中是将等腰直角三角形 DACB 的一腰 AC 绕点 C 逆时针旋转90 与另一腰 BC 重合，从而带动 DCAP 逆时针旋转90 至 DCBH ，可得：DCAP DCBH ，CP = CH，HC
11、P = 90，PA = BH = 3 CPH = 45 ， PH =2PC = 2 PH 2 + PB 2 = BH 2 HPB = 90 BPC = 135第 13 页 共 11 页图（2）中是将等腰直角三角形 DACB 的一腰 BC 绕点 C 顺时针旋转 90 与另一腰 AC 重合，从而带动 DCPB 逆时针旋转90 至 DCHA ，可得 DCPB DCHA ，可得 CHP = 45 ，再利用勾股定理证PHA = 90 即可。例 2：已知，如图所示，等腰 RtDACB ，ACB = 90 ， D 为 DACB 外一点， 且满足 ADC = 45 ， AD = 3，CD = 4 ， 求 BD
12、 的值？分析：这里已知等腰 RtDACB ，可以将 等腰 RtDACB 的一腰 BC 顺时针旋转90 与 另一腰 AC 重合，从而带动 DDCB 顺时针旋转90 至 DHCA 。解析：将 DDCB 绕点C 顺时针旋转90 至 DHCA 。则有， DDCB DHCA ， DC = HC，DCH = 90，HDC = 45，DH = DC = 4又 ADC = 45 HDA = 90 ，最后利用勾股定理可以求出 AH 的值，也即 BD 的值。例 3：已知如图， DABC 为等边三角形， PA =， PB = 3 ， PC =，求 APC 的度数？分析：这里已知 DABC 为等边三角形，符合旋转条件
13、，可以将 DABC 一边 AC 顺时针旋转 60 与另一边 AB 重合 解析：将 DAPC 绕点 A 顺时针旋转 60 至 DAHB ，则 DAPC DAHB，AP = AH，HAP = 60，PC = HB = DAHP 为等边三角形 HP = PA = HB 2 + HP 2 = PB 2 BHP = 90 APC = AHB = 150 。例 4：已知如图，四边形 ABCD ，ADC = 60 ，ABC = 30 ，且 AD = AC ，求证：AB 2 + BC 2 = BD 2 。 分析：这里实际可知 DADC 为等边三角形，满足旋转条件。解析：将 DADB 绕点 A 逆时针旋转 60
14、 至 DACH 。 可得 DABH 为等边三角形，又 ABC = 30 从而可得 CBH = 90 ，直角三角形就 可以使用勾股定理了。例 5：如图，已知等边 DABC ，点 D 为 DABC 外一点，且满足 BDC = 120 ，试问，BD，DA，DC是否有确定的数量关系？分析：这里 DABC 为等边三角形，满足旋转条件。 解析：将 DABD 绕点 A 逆时针旋转 60 至 DACH 。 则有， DABD DACH ， ABD = ACH 。DADH 为等边三角形 DA = DH BDC = 120 ， BAC = 60 ABD + ACD = 180 ACH + ACD = 180 D，C，H 三点共线（必须证三点共线，否则扣分） DA = DC + DB 。变式拓展：如图已知等边 DABC ，点 D 为 DABC 外一点，但 BDC 大小不确定，BD = 3 ，DC = 4 ， 试问 DA 的最大值为多少？分析：这里 DABC 为等边三角形，满足旋转条件。 解析：将 DABD 绕点 A 逆时针旋转 60 至 DACH 。 则有， DABD DACH ， DADH 为等边三角形 CH = BD = 3 ， DA = DH DH DC + CH DA 7
