《2019高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题练习 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题练习 理（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.8圆锥曲线的综合问题考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.定值与最值及范围问题掌握与圆锥曲线有关的最值、定值、参数范围问题掌握2017课标全国,20;2017浙江,21;2017山东,21;2016课标全国,20;2016北京,19;2016山东,21;2015浙江,19;2014四川,10;2014浙江,21解答题2.存在性问题了解并掌握与圆锥曲线有关的存在性问题掌握2014山东,21;2013江西,20解答题分析解读1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数
2、形结合”“几何法”求某些量的最值.4.能与其他知识交汇,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系,展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查,注重对数学思想方法的考查,分值约为12分,难度偏大.五年高考考点一定值与最值及范围问题1.(2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值.解析(1)设直线AP的斜率为k,k=x-,因为-xb0)的离心率为,焦距为2.(1)求椭圆E的方程;(2)如图,动直线l:y=
3、k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=.M是线段OC延长线上一点,且|MC|AB|=23,M的半径为|MC|,OS,OT是M的两条切线,切点分别为S,T.求SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.解析(1)由题意知e=,2c=2,所以a=,b=1,因此椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消y整理得(4+2)x2-4k1x-1=0,由题意知0,且x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=.由题意可知圆M的半径r=|AB|=.由题设知k1k2=,所以k2=,因此直线OC的方程为y=x.联立得x2
4、=,y2=,因此|OC|=.由题意可知sin=,而=,令t=1+2,则t1,(0,1),因此=1,当且仅当=,即t=2时等号成立,此时k1=,所以sin,因此,所以SOT的最大值为.综上所述:SOT的最大值为,取得最大值时直线l的斜率k1=.3.(2016课标全国,20,12分)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.解析(1)设M(x1,y1),则由题意知y10.当t=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).(1分)由已
5、知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.(4分)因此AMN的面积SAMN=2=.(5分)(2)由题意,t3,k0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+) 代入+=1得(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2-3t=0.(7分)由x1(-)=得x1=,故|AM|=|x1+ |=.(8分)由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.(9分)由2|AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=.(10分)t3等价于=0,即0
6、.(11分)由此得或解得kb0)的离心率是,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证:点M在定直线上;(ii)直线l与y轴交于点G,记PFG的面积为S1,PDM的面积为S2.求的最大值及取得最大值时点P的坐标.解析(1)由题意知=,可得a2=4b2.因为抛物线E的焦点F的坐标为,所以b=,所以a=1.所以椭圆C的方程为x2+4y2=1.(2)(i)设P(m0).由x2=2y,可得y=x,所以直线l的斜率为m.因此直
7、线l方程为y-=m(x-m),即y=mx-.设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).联立得(4m2+1)x2-4m3x+m4-1=0.由0,得0m(或0m20),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.解析(1)设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=
8、0,故xM=,yM=kxM+b=.于是直线OM的斜率kOM=-,即kOMk=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0,k3.由(1)得OM的方程为y=-x.设点P的横坐标为xP.由得=,即xP=.将点的坐标代入l的方程得b=,因此xM=.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM.于是=2,解得k1=4-,k2=4+.因为ki0,ki3,i=1,2,所以当l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形.8.(2015浙江,19,15分)已知椭圆+y2=
9、1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).解析(1)由题意知m0,可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y,得x2-x+b2-1=0.因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以=-2b2+2+0,将AB中点M代入直线方程y=mx+,解得b=-.由得m.(2)令t=,则|AB|=,且O到直线AB的距离为d=.设AOB的面积为S(t),所以S(t)=|AB|d=.当且仅当t2=时,等号成立.故AOB面积的最大值为.9.(2015天津,19,14分)已知椭圆+=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,
10、点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解析(1)由已知有=,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有+=,解得k=.(2)由(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为.由|FM|=,解得c=1,所以椭圆的方
11、程为+=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x-1),与椭圆方程联立得消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=,解得-x-1,或-1x0.设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x0),与椭圆方程联立,整理可得m2=-.当x时,有y=t(x+1)0,于是m=,得m.当x(-1,0)时,有y=t(x+1)0,因此mb0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.解析(1)设直线l的方程为y=kx+m(k0),由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.由于l与C只有一个公共点,故=0,即b2-m2+a2k2=0,解得点P
