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1、2018年下学期衡阳市八中高二期中考试试题理科数 学 命题：刘亮生 审题：郭端香本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试用时120分钟一、单选题1命题“若mn0,则m0且n0”的逆否命题是( D )A 若mn0,则m0且n0B 若mn0,则m0或n0C 若m0且n0,则mn0D 若m0或n0,则mn3x0”的否定是“xR，x2+13x”;B 若pq是假命题，则p，q都是假命题C 双曲线x22-y23=1的焦距为25D 设a，b是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得a，且ba4与椭园C:y26+x22=1共焦点且渐近线方程为y=3x的双曲线的标准方程为( D ）A x2
2、-y23=1 B x23-y2=1 C y2-x23=1 D y23-x2=15已知p:xR,x2+2x+a0;q:2ab0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1PF2=0，若PF1F2的面积为9，则b的值为（ C ）A 1 B 2 C 3 D 49如图，空间四面体D-ABC的每条边都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则FEDC等于（A ）A 14 B -14 C 34 D -3410已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，则的最小值为（B ）A B C D 11如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱ABCA1B1C1 中，D,E 分别为BB1,A1C1 的中点，则异面直线AD,CE
3、所成角的余弦值为（C）A 12 B 32 C 15 D 4512为双曲线上一点，分别为的左、右焦点，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则的离心率为（D）A B 2 C 或 D 2或3题号123456789101112答案DCBDCADCABCD2、 填空题13已知O为空间任意一点，A,B,C,D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且,则_；【答案】-114有下列几个命题:“若,则”的否命题;“若,则,互为相反数”的逆命题;“若,则”的逆否命题; “若,则有实根”的逆否命题;其中真命题的序号是_.【答案】15 15已知点P(x,y)在椭圆上，则2x+y的最大值为_；【答案】416 已知椭圆x2a
4、2+y2b2=1(ab0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点，若AFBF,设ABF=,且6,4，则椭圆的离心率e的取值范围为_【答案】22,3-1三、解答题17已知mR，已知命题p：方程x2m-2+y26-m=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：“函数f(x)=(4-m)x在R上为单调增函数若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m 的取值范围【答案】m2或3mm-20 解得2m1即m3,若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p与q一真一假.当p真q假时，由2m4m3得3m4 ,当p假q真时，由m2或m4m3得m2综上，实数m 的取值范围是m2或3m418已知向量a=(2
5、,1,-2)，c=(-1,0,1)，若向量b同时满足下列三个条件：ab=-1；|b|=3；b与c垂直.（1）求向量b的坐标；（2）若向量b与向量d=(1,-12,1)共线，求向量a-b与2b+3c夹角的余弦值.【答案】(1)b=(-2,-1,-2)或b=(2,-1,2)；(2)-83045.（1）设b=(x,y,z)，则由题可知2x+y-2z=-1,x2+y2+z2=9,-x+z=0,解得x=2,y=-1,z=2,或x=-2,y=-1,z=-2,所以b=(2,-1,2)或b=(-2,-1,-2).（2）因为向量b与向量d=(1,-12,1)共线，所以b=(2,-1,2).又a=(2,1,-2)
6、，c=(-1,0,1)，所以a-b=(0,2,-4)，2b+3c=(1,-2,7)，所以(a-b)(2b+3c)=-32，且|a-b|=25，|2b+3c|=36，所以a-b与2b+3c夹角的余弦值为cos=(a-b)(2b+3c)|a-b|2b+3c|=-83045.19如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且.（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的长度.【答案】（1）.（2）.（1）设点的坐标为，点的坐标为，由已知得.在圆上，即，整理得，即的方程为.（2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，将直线方程代入的方程，得，即.x1+x2
7、=3，x1x2=-8线段的长度为.直线被所截线段的长度为.20如图所示，四棱锥S-ABCD中，SA底面ABCD，ABC=900，AB=3，BC=1，AD=23，ACD=600，E为CD的中点.（1）求证：BC/平面SAE；（2）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.【答案】（1）见解析； （2）217.【解析】（1）证明：因为AB=3，BC=1，ABC=900，所以AC=2，BCA=600，在ACD中，AD=23，AC=2，ACD=600，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2-2ACCDcosACD解得：CD=4所以AC2+AD2=CD2，所以ACD是直角三角形，又E为CD的中点，所以AE=
8、12CD=CE又ACD=600，所以ACE为等边三角形，所以CAE=600=BCA，所以BC/AE，又AE平面SAE，BC平面SAE，所以BC/平面SAE.（2）解：由（1）可知BAE=900，以点A为原点，以AB,AE，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则S(0,0,2)，B(3,0,0)，C(3,1,0)，D(-3,3,0).所以SB=(3,0,-2)，SC=(3,1,-2)，SD=(-3,3,-2).设n=(x,y,z)为平面SBC的法向量，则nSB=0nSC=0，即3x-2z=03x+y-2z=0设x=1，则y=0，z=32，即平面SBC的一个法向量为n=(1,0,
9、32)，所以cos=nSD|n|SD|=-237416=-217,所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为217.21已知F1-c,0,F2c,0为双曲线C:x2-y2b2=1b0的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，并在x轴上方交双曲线于点M，且MF1F2=30.（1）求双曲线C的方程；(2)过圆O:x2+y2=b2上任意一点Qx0,y0作切线交双曲线C于A,B两个不同点，AB中点为N，若，求实数【答案】（1）x2-y22=1；（2）23；（3）见解析【解析】：（1）根据已知条件a=1得c=a2+b2=1+b2，焦点坐标为F1-1+b2,0,F21+b2,0，MF2x轴，M1+b2,b2在
10、直角三角形MF1F2中，tan30=MF1F1F2=b22c=b221+b2=33，解得b2=2，于是所求双曲线方程为x2-y22=1.（2） 当直线l的斜率不存在时，则ABF1F2，于是AB=22,ON=2，此时AB=2ON，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m切线l与C的交点坐标为Ax1,y1,Bx2,y2，于是有y=kx+m2x2-y2-2=0消去y化成关于x的二次为2-k2x2-2kmx+m2+2=0.x1+x2=2km2-k2x1x2=m2+2k2-2yN=kxN+mN为AB的中点，xN=x1+x22即N坐标为km2-k2,2m2-k2则ON=km2-k22+2m2-k22
11、=mk2+42-k2，AB=k2+1x1+x22-4x1x2=k2+18m2-k2+22-k22又点O到直线l的距离为d=mk2+1=2m=2k2+1，m2=2k2+1.代入得：AB=22k2+1k2+42-k2，ON=mk2+42-k2=2k2+1k2+42-k2，故AB=2ON.22已知抛物线：（）与椭圆：相交所得的弦长为（）求抛物线的标准方程；（）设，是上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值（）时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标【答案】（）；（）直线恒过定点【解析】（）设抛物线与椭圆交于，两点由椭圆的对称性可知， 将点代入抛物线中，得， 再将点代入椭圆中，得，解得故抛物线的标准方程为 （）设点，由题意得（否则，不满足），且，设直线，的方程分别为， 联立，解得，联立，解得，； 则由两点式得，直线的方程为化简得因为，由，得，得，将代入，化简得，得得，得，得，即令，不管取何值，都有所以直线恒过定点 考点：（1）轨迹方程；（2）直线过定点；（3）直线与圆的位置关系.
