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1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划隐式方程换元的方法总结换元法解方程西安市第八十五中学江树基换元法是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径常用方法有均值代换、多元代换、常数代换等解分式方程、无理方程、高次方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、高次方程逐步降次，实现这一基本思想的方法有多种，其中换元法是常用的一种重要方法，本文注重
2、研究用换元法解方程的技能、技巧一、分式方程分析：这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设2=0，解得y=1经检验，x1，x2都是原方程的根分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设y=x2+2x解：设y=x2+2x，则原方程可化为即y2-y-12=0，解得y1=4，y2=-3x22x=-3，无实数解例3解方程分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设y=x22x10解：设y=x22x10，则原方程可化为解得y1=9x，y2=-5x.由x22x10=9x，解得x1=5，x2=2由x22x10
3、=-5x，解得x3=-5，x4=-2经检验知，它们都是原方程的解注：以上三个例子可看出，换元时必须对原方程进行仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，化繁为简，达到解方程的目的二、无理方程两边立方，并整理得y3-2y23y=0，即y=0，y=0或y2-2y3=0，无解经检验知x=-1是原方程的解可设两个未知数，利用韦达定理解原方程为mn=1，又3=m3n33mn=4+3mn=1，mn=-1=-1，即x2-2x-4=0，解得经检验知，x1，x2是原方程的解2+2=52，解得y=5经检验知，x=10，x=-510是原方程的解|y+2|y-2|=4，当y-2时，-y-2-y2=4，y=-2当-2y
4、2时，y2+2-y=4，4=4，当y2时，y2y-2=4，y=2-2y2，又y0，0y2，经检验知，1x2是原方程的解再把上边方程两边平方整理得x4-2ax2+a2-a-x=0，a2-a=0，解得由得-x=a-x2，a-x20，-x0，方程无解故选注：此例中把字母a视为变量，反而把x看成常量，这种反客为主的替代法称为“常数代换”法三、高次方程例9解方程44=82原方程变为4+482，整理得y46y2-40=0，解得y1=2，y2=-2由x2=2，得x1=0由x2=-2，得x2=-4所以原方程的解是x1=0，x2=-4注：一般地形如4+4=c的方程可用均值法，设y例10解方程6x4+5x3-38
5、x2+5x+6=0解：显然x=0不是方程的解，故用x2除方程两边，整理得6+by+c=0使问题得解2形如ax4+bx3+cx2+bx+a=0的方程称第二类倒数方程，其特点是：与首末两项等距离的偶次幂的项的系数相等，奇次幂项的系数的绝对值相等而符号相反，用x2除方程两边，并按下述方法并项，得a：“”读作“德尔塔”，在一元二次方程中b4ac2b4ac0=方程有两个不相等的实数根，即：x1，x22b4ac0=方程有两个相等的实数根，即：x1x22b4ac0=方程没有实数根。2二、典型例题例1：方程2-5+2=0，如果设x2-3=y，那么原方程可变形为Ay-5y+2=0By+5y-2=0Cy-5y-2
6、=022Dy2+5y+2=0分析：此题主要利用换元法变形，注意变形时3-x与x-3互为相反数，符号要变化222解答：x-3=y23-x=-y2用y表示x后代入-5+2=0得：222y+5y+2=02故选D_例2：已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为A-5或1B1C5D5或-1分析：解题时把x+y当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单22解答：设x+y=t，t0，则原方程变形得22(t+1)(t+3)=8，化简得：(t+5)(t-1)=0，解得：t1=-5，t2=1又t0t=1x+y的值为只能是122故选B_三、解题经验换元法在解特殊一元二次方程的时候用的特别
7、多，也可以称为整体思想法，在数学中，整体思想是重要思想之一，因此我们要掌握。上面例题中，例3我们要注意，不要误认为有两个值，一定要化到最简，然后判断是否有跟。加速度学习网让学习变得简单！用换元法解各种复杂方程用换元思想探索双二次方程、无理方程、分式方程这三类方程的解法。内容综述“换元法”是一种重要的数学方法，它可以把较复杂的问题转化为较简单的问题去解决。在解高次方程、分式方程、无理方程的过程中都可以应用换元方法，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元一次或一元二次方程的目的。问题精讲1.在中学课程中,只要求学生会解一
8、些特殊的高次方程,最常见的就是“双二次方程”，即只含有未知数的四次项、二次项和常数项的方程。对于这类方程,可以经过对二次项的换元转化为一元二次方程。例1，解方程(x2+1)2=x2+3分析:思路1：以x2+1为一个整体进行换元，因此要对方程右边进行变形使其含有x2+1。思路2：把方程展开成标准的双二次方程，再对x进行换元。解法一：原方程可化为(x+1)-(x+1)-2=0，设x+1=y得y-y-2=0，解得y1=2，y2=-1，x+1=-1无实根，由x+1=2解得x1=1，x2=-1。解法二：由原方程得x+x-2=0，设x=y得y+y-2=0，解得y1=1，y2=-2，x=-2无实根，由x2=
9、1解得x1=1，x2=-1。注意：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元方法都可以应用。例如在牛刀小试题1中，可以设4x2+2=y，则原方程化为y2+y-12=0；也可以设4x2+1=y，则原方程化为y2+3y-10=0，。但是无论采用哪一种换元方法，所得方程的解都是相同的。2.解无理方程时，常把原方程中的一个含有未知数的根式作为整体进行换元，达到化去根号转化为可解方程的目的。这时经过变形，原方程的某个整式部分常可表示为新元的平方。例2，解方程2x2?6x?5x2?3x?1?5?0分析：
10、为使原方程中出现形式相同的部分，可以将其变形为2(x2?3x?1)?5x2?3x?1?3?0。解：设2，则原方程可以化为2y2-5y-3=022由x2?3x?1?3得x1=5，x2=-2，经检验是原方程的根。注：以前学过平方去根号法解无理方程，是种普遍方法。现在的换元必须构造出根号内外两个相同的式子才行。3.解分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整体进行换元，换元时要注意分子、分母互换的两个8x2?16x3x2?3分式可以用一个新元和它的倒数来表示。例如方程?2?11可变形为2x?1x?2x38(x2?2x)3(x2?1)x2?2x8y?11，去分母后化为。设进行换元可得?11?y222yx
11、?1x?2xx?18y2-11y+3=0可解。例3，x?4?x?8x?83?x?42分析：本题既是无理方程也是分式方程，换元时可以设根号内的分式为新元，也可以直接设连同根号的分式为新元。下面给出按后一种思路换元的解法。13x?4?，?y，则原方程可以化为y?y2x?81x?41整理得2y2-3y-2=0，解得y1?，y2=2，?舍去。2x?82x?4由?2解得x=12，经检验是原方程的根。x?8解：设对于例3也可以用两边平方的方法直接求解：原方程两边平方得x?4x?89?2?，整理后去分母化简得x2-4x-96=0，x?8x?44解得x1=-8，x2=12，代入原方程检验可知x1=-8是增根。所以x=12是原方程的根。由例2、例3看出，对于分式方程或无理方程使用换元法后，仍需对所求根进行检验。实际上，根据验根的原则，有些特殊方程不求出根就可以判断它无解或无实根。如1?x?6?4,强化练习2x?2?02x?2x?3x2?13x2?3?2?21.解方程解方程x?x?14.解方程x9x?2?1。x9?xx4?12?4；目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。
