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1、2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法二分法课时过关能力提升1用二分法求函数f(x)=x3+5的零点时,可以取的初始区间为() A.-2,1B.-1,0C.0,1D.1,2解析由于f(-2)=(-2)3+5=-30,f(-2)f(1)0,f(2)0,则f(x)在(1,2)上零点的个数是()A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有解析由二次函数图象及零点的性质可知f(x)在(1,2)上有且只有一个零点.答案C4已知函数f(x)=mx2+8mx+21,当f(x)0时,-7x-1,则实数m的值为()A.1B.2C.3D.4解析由题意可知,-1
2、和-7分别是函数f(x)=mx2+8mx+21的两个零点,因此由根与系数的关系有21m=(-1)(-7)=7,解得m=3.答案C5如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的公共点,给出的下列四个区间中,存在不能用二分法求出的零点,则该零点所在的区间是()A.-2.1,-1B.1.9,2.3C.4.1,5D.5,6.1解析由不变号零点的特征易判断该零点在区间1.9,2.3上.答案B6若关于x的方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是()A.(-,-1)B.(1,+)C.(-1,1)D.0,1)解析令f(x)=2ax2-x-1.当a=0时,不符合题意;当a0时,则有f(
3、0)f(1)=-1(2a-2)1.答案B7若f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是()A.-12,14B.-14,12C.14,12D.14,12解析由题意,得f(-1)f(0)0,f(1)f(2)0,解得m.答案C8已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为()x-10123g(x)0.3712.727.3920.39A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析由已知得f(x)=g(x) -x-3,且f(-1)=g(-1)+1-
4、30,f(0)=g(0)-3=-20,f(1)=g(1)-1-30,f(3)0.由f(1)f(2)0,故零点在区间(1,2)内.答案C9函数f(x)=x-的零点是.解析令f(x)=0,即x-=0,解得x=2或x=-2.答案2,-210若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a0)有一个正根和一个负根,则a的取值范围是.解析由题意知,两根之积x1x2=0,故a0.答案(-,0)11设函数f(x)=2x-1,x2-4,x0,+),x(-,0),又g(x)=f(x)-1,则函数g(x)的零点是.解析当x0时,g(x)=f(x)-1=2x-2,令g(x)=0,得x=1;当x0的解集是.解析由表可知
5、f(-2)=f(3)=0,且当x(-2,3)时,y0.答案x|x313在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10 km长的线路,问如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆,10 km长,大约有200多根电线杆!想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?解可以利用二分法的原理进行查找.如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD中点E来查.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,即
6、可将故障发生的范围缩小到50 m100 m之间,即一二根电线杆附近.14已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数,且a0)满足条件f(2)=0,方程f(x)=x有两个相等的实根.(1)求f(x)的解析式.(2)是否存在实数m,n,使得f(x)的定义域和值域分别为m,n和2m,2n?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.解(1)由f(2)=0,得4a+2b=0.由方程f(x)=x,得ax2+(b-1)x=0.因为方程f(x)=x有两个相等的实根,所以=(b-1)2=0.解方程组4a+2b=0,(b-1)2=0,得a=-12,b=1,故f(x)=-12x2+x.(2)由(1)知,f(x)=-12x2+x=-12(x-1)2+1212,即2n12,解得n14.故函数f(x)在m, n上是增函数.由f(m)=-12m2+m=2m,f(n)=-12n2+n=2n,解得m=-2或m=0,n=-2或n=0.因为mn,且n14,所以存在满足条件的实数m,n,且m=-2,n=0.4
