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1、2006 全国大学生数学建模竞赛 B 题 简析,背 景,艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。 艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。,背 景,人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。 迄今为止人类未找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对
2、人体有副作用，而且成本很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。,数 据 一,现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。 ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。,问 题 一,利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。,问题分析 一,问题一是一个二选一的问题： 预测继续治疗的效果 预测
3、问题 确定最佳治疗终止时间 根据预测结果和停药条件进行判断 确定停药条件 确定预测方法,建立模型,分析数据特点混乱 有缺失值 测量时间未统一在同一时点 间隔时间也不一致 突破口 分-合 数据特点,数据处理,有缺失值- 排除缺失值过多的病人 测量时间未统一在同一时点- 均值 间隔时间也不一致- 均值 若某周测试的病人数少于5位，则认为这一周的检测数据不能代表病人整体的情况 编程,分 -合,作出前22组病人的CD4水平随时间的变化图,分 -合,发现不同的病人因个体差异，其CD4有不同的变化规律，但大致可分为3类：上升平稳、上升下降、持续上升。,分 -合,聚类分析将样本分成3类 用MatLab进行数
4、据拟合得3类病人的CD4浓度关于时间t的函数：,分 -合,分别计算出各类群体的最佳停药时间： 考虑到HIV病毒的抗药性，第一类病人的最佳停药时间在CD4从上升变为平缓后、保持平稳时取得： 24（周）。 考虑CD4的浓度水平，第二类病人的最佳停药时间在CD4取得最大值处取得：40（周）。 考虑CD4的浓度水平，第三类病人的最佳停药时间在CD4取得最大值处取得：24（周） 其中第1、2、3类病人在总人数种的比率分别为：60%，15%，25%，以比率为权，得出所有病人的最佳停药时间：,数据特点,寻找有利特点- 重复观测！ 问题的特点决定了解决的方法！ 特殊的问题必有特殊的解决方法！ 概括 搜索 快速
5、学习的能力,CD4（0.2个/ul）随时间变化曲线图,HIV随时间变化曲线图,数据特点,CD4和HIV是两个不同性质的指标，将CD4和HIV 综合考虑，必须进行数据标准化，采用标准差法处理数据。 作药效函数 ，求极值得到解为：t=42.9593(周),经过数据标准化处理的药效函数 的函数图像,问 题 二,利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。,数 据 二,193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4
6、种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。,问题分析 二,问题二的数据依然是重复观测数据，因此可延用问题一的模型和方法。,建立模型,四种疗法接受者分别的CD4浓度关曲线,问 题 三,艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下
7、：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。,问题分析 三,单位药品组合价格表,问题分析三&建立模型,本问题要求对4种疗法的疗效与费用进行综合评价，采用费用效果分析（Cost-effectiveness Analysis）这一系统分析方法。美国政府1902年的“河川江湾法”规定在制定河川、江湾的投资规划时采用了费用效益经济评价方法（Cost-Benefit
8、Analysis）。费用效果分析建立在这一评价方法的基础上，是美国RAND公司于1960年针对其国家防务系统的研究评价中发展起来的系统分析方法。,问题分析三&建立模型,在费用效果分析中，费用分析是估算各备选替代方案的费用或成本；效果分析是指用货币以外的数量尺度所表示的系统效果的评估。本题中的费用即为各单位药品按疗法的组合价格与时间t的乘积，效果则是CD4在血液中的浓度变化。,问题分析三&建立模型,费用-效果分析的评价方案依据三条主要准则： 各备选方案效益相同，则选择费用最小的方案为最优方案； 各备选方案费用相同，则选择效果最大的方案为最优方案； 各备选方案的费用或效果都不相同，则选择费用与效果的比值最小的方案。,问题分析三&建立模型,通过对题目所给的单位药品价格数据与第2问中各疗法CD4浓度曲线的分析，发现各备选方案的费用或效果均不相同，故采用第三条准则。 建立判断标准：,问题分析三&建立模型,如图：疗法1的费用与效果比值始终是在其余三个疗法的下方，因此疗法1是在考虑疗效与费用的综合情况下的最优疗法。同时，通过问题2的计算，我们可知，疗法1的最佳终止时间为11.3168(周)。,各疗法费用与效果的比值图,总 结,知识储备 搜索特点,总结规律,配以恰当的方法 快速学习 分工配合 诚信 准备,
