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1、,假设检验,参数假设检验,非参数假设检验,这类问题称作假设检验问题 .,总体分布已 知，检验关 于未知参数 的某个假设,总体分布未知时的假设检验问题,我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.,第7章 假设检验,7.1 假设检验的基本思想和概念,例1 工厂中自动打包机打包，每包重量,每包重应为50kg,由于机器存在误差，打包重量并不 是50kg，现从中任取9包，测得 问：打包机工作是否正常？,例2 学生的考试成绩是否服从正态分布？,例3 某研究所推出一种感冒特效药，为证明其疗效， 选择200名患者为志愿者。将他们均分为两组，分别
2、不服药或服药，观察 三日后痊愈的情况，得出下列 数据：,问：新药是否有明显疗效？,例1例3所要解决的问题可转化下述问题：,例1,例2,例3,生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运. 怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？,把每一罐都打开倒入量杯, 看看容量是否合于标准.,罐装可乐的容量按标准应在 350毫升和360毫升之间.,一、基本概念和思想,每隔一定时间，抽查若干罐 .,如每隔1小时，抽查5罐，得5个容量的值 ，根据这些值来判断生产是否正常.,如发现不正常，就应停产，找出原因，排除故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定时间再抽样，以此监督生产，保证质量.,通常的办法是进行抽样检查
3、.,在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下波动. 这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位. 因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的.,现在我们就来讨论这个问题.,罐装可乐的容量按标准应在 350毫升和360毫升之间.,它的对立假设是：,称H0为原假设（或零假设）；,称H1为备选假设（或对立假设）.,H1：,这样，我们可以认为 是取自正态 总体 的样本，,现在要检验的假设是：,那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？,较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何处？应由什么原则来确定？,问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质.,差异可能是由抽
4、样的随机性引起的，称为,“抽样误差”或 随机误差,这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机 波动.,然而，这种随机性的波动是有一定限度的，如果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样的随机性来解释了.,必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常.,问题是，根据所观察到的差异，如何判断它究竟是由于偶然性在起作用，还是生产确实不正常？,即差异是“抽样误差”还是“系统误差”所引起的？,这里需要给出一个量的界限 .,问题是：如何给出这个量的界限？,这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：,小概率事件在一次试验中基本上不会发生 .,现在回到我们前面罐装可乐的例中：,在提出原假设H0后，如
5、何作出接受和拒绝H0的结论呢？,在假设检验中，我们称这个小概率为显著性水平，用 表示.,常取,的选择要根据实际情况而定。,提出假设,选检验统计量, N(0,1),由于 已知，,对给定的显著性水平 ，可以在N(0,1)表中查到分位点的值 ，使,故我们可以取拒绝域为：,W：,如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域W，则拒绝H0 ；否则，不能拒绝H0 .,如果H0 是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域 W(拒绝域) 是个小概率事件. 如果该统计量的实测值落入W，也就是说， H0 成立下的小概率事件发生了，那么就认为H0不可信而否定它. 否则我们就不能否定H0 （只好接受它）.,这里所依据的
6、逻辑是：,不否定H0并不是肯定H0一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度 .,所以假设检验又叫,“显著性检验”,如果显著性水平 取得很小，则拒绝域 也会比较小.,其产生的后果是： H0难于被拒绝.,如果在 很小的情况下H0仍被拒绝了，则说明实际情况很可能与之有显著差异.,基于这个理由，人们常把 时拒绝H0称为是显著的，而把在 时拒绝H0称为是高度显著的.,在上面的例子的叙述中，我们已经初步介绍了假设检验的基本思想和方法 .,下面，我们给出假设检验的一般步骤 .,二、假设检验的一般步骤,Step1 : 根据问题提出原假设 和备择假设,Step2 : 选取检验统计量 且其抽样
7、分 布中不含任何未知参数，可以查表或通过计算得其 分位数（临界值）,Step3 : 对于给定的显著性水平 找临界值，从而确定 拒绝域，使,Step4 : 判定。若,假设检验会不会犯错误呢？,由于作出结论的依据是下述,小概率原理,小概率事件在一次试验中基本上不会发生 .,三、假设检验的两类错误,如果H0成立，但统计量的实测值落入否定域，从而作出否定H0的结论，那就犯了“以真为假”的错误 .,如果H0不成立，但统计量的实测值未落入否定域，从而没有作出否定H0的结论，即接受了错误的H0，那就犯了“以假为真”的错误 .,请看下表,假设检验的两类错误,P拒绝H0 |H0为真= ,P接受H0 |H0不真=
8、 .,犯两类错误的概率:,显著性水平 为犯第一类错误的概率.,两类错误是互相关联的， 当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加.,要同时降低两类错误的概率 或者要在 不变的条件下降低 ，需要增加样本容量.,两类错误的概率的关系,提出 假设,根据统计调查的目的, 提出 原假设H0 和备选假设H1,作出 决策,抽取 样本,检验 假设,对差异进行定量的分析， 确定其性质(是随机误差 还是系统误差. 为给出两 者界限，找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.）,拒绝还是不能 拒绝H0,显著性 水平,P(T W)= -犯第一 类错误的概率， W为拒绝域,总 结,检验法,7.2 参
9、数的假设检验,一、,例 1 在上节例1中，取=0.01。 问检验打包机的 工作是否正常？,注： 1）检验步骤与1相同； 2）单侧（单尾）检验与双侧（双尾）检验。,例 2,假设某次考试数学分数,一中的16名学生其平均成绩为101.85分，试判断该校 的数学成绩是否优于全市平均水平？（=0.05）,随机抽查市,二、 检验法,故的拒绝域为,例3某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5mm. 实际生产的产品，其长度 假定服从正态分布 未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:,32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03,问这批产品是否合格?,分
10、析：这批产品(螺钉长度)的全体组成问题的总体 . 现在要检验 是否为32.5.,提出原假设和备择假设,第一步：,第二步：,能衡量差异大小且分布已知,第三步：,即“ ”是一个小概率事件 .,小概率事件在一次 试验中基本上不会 发生 .,得否定域 W:,故不能拒绝H0 .,第四步：,将样本值代入算出统计量 t 的实测值,| t |=2.9974.0322,没有落入 拒绝域,例 4 在漂白工艺中，要考察湿度对针织品断裂强度的 影响，在70与80下分别作了八次实验，测得断裂 强度数据如下： 70 20.5 18.8 19.8 20.9 21.5 19.5 21.0 21.2 80 17.7 20.3
11、20.0 18.8 19.0 21.1 20.1 19.1 据经验针织品地断裂强度服从正态分布，问：70下 的断裂强度与80下的断裂强度有无显著性差异？,三、 检验法,例5 某砖厂生产的红砖质量比较稳定，抗压强度的方 差为64，今从一批新砖中任抽10块作抗压强度试验， 得数据如下： 578 572 570 568 572 570 572 596 584 570 问是否可相信这批砖的抗压强度的方差也为64？ （ ）,由于,拒绝域为,四、 检验法,F 检验法是两正态总体值,方差是否相等和两方差比较进行检验。如第三节例 4 中当检验针织品的断裂强度有无显著差异时，其方差 看作是相等的，这往往是凭经验
12、而言。严格来说，这 是需要经过检验的。,未知的情况下，对其,拒绝域,见课本总结表,五、小结,7.3 正态母体参数的置信区间,对于总体的未知参数 ，利用点估计可求得其近似值，但,点估计本身既没有反应这种近似值的精确度，又不知道它 的误差范围，因此希望估计出一个范围，并希望知道参数,真值落在这个范围内的可信程度。,一、置信区间的定义,-置信下限,-置信上限,-置信区间的观测值,可靠度与精度是一对矛盾，一般是 在保证可靠度的条件下尽可能提高 精度.,2. 要求 以很大的可能被包含在区间,内，就是说，概率 要尽可能大 .,即要求估计尽量可靠.,3. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度,尽可能短，
13、或能体现该要求的其它准则.,在求置信区间时，要查表求分位点.,二、置信区间的求法,若 为连续型随机变量 , 则有,所求置信区间为,或者,取,所求置信区间为, N(0, 1),选 的点估计为 ,明确问题,是求什么 参数的置信区间? 置信水平是多少？,解,寻找一个待估参数和 统计量的函数 ，要求 其分布为已知.,有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.,对给定的置信水平,查正态分布表得,对于给定的置信水平, 根据U的分布，确定一 个区间, 使得U取值于该区间的概率为置信水平.,使,从中解得,对给定的置信水平,查正态分布表得,使,于是所求 的 置信区间为,从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间
14、的一般步骤如下:,1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?,置信水平 是多少?,2. 寻找参数 的一个良好的点估计 T( ),3. 寻找一个待估参数 和估计量 T 的函数 U(T, ),且其分布为已知.,P(a U(T, )b) =,5. 对“aU(T, )b”作等价变形,得到如下形式:,可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个 待估参数 和估计量T 的函数U(T, ), 且U(T, ) 的分布为已知, 不依赖于任何未知参数 .,而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是 否已知，是怎样的类型，至关重要.,需要指出的是，给定样本，给定置信水平 ，置信区间也不是唯一的.,对同一个参数，我们可以构
15、造许多置信区间.,由标准正态分布表，对任意a、b，我们可以求得 P( aUb) .,N(0, 1),由 P(-1.75U2.33)=0.95,这个区间比前面一个要长一些.,我们总是希望置信区间尽可能短.,类似地，我们可得到若干个不同的置信区间.,任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u) 下95%的面积，就确定一个95%的置信区间.,在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时求得的置信区间的长度为最短.,a =-b,即使在概率密度不对称的情形，如 分布， F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.,我们可以得到未知参数的的任何置信水平小于 1 的置信区间，并且置信水平越高，相应的置信区间平均长度越长.,也就是说，要想得到的区间估计可靠度高， 区间长度就长，估计的精度就差.这是一对矛盾.,实用中应在保证足够可靠的前提下，尽量使 得区间的长度短一些 .,三、 正态总体下的区间估计,由前面推导过程可知，,取统计量,对于对于给定的置信度,，查t分布表，使,从而，,于是得到一个,的置信区间,因而得到初生男婴平均体重的95%置信区间为（2820，3300）,所以取样本函数,对于对于给定的置信度,，查 分布表，使,即,于是得,的 置信区间,取,有,从而， 的置信区间为,函数,取函数,
