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1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划相似矩阵与合同矩阵浅谈相似矩阵和合同矩阵李鹏摘要：矩阵的相似与矩阵的合同是线性代数中两个重要的概念.对它们的定义如何？它们定义中所表现出来的异同点作了简单阐述.二者都是针对方阵来说的，定义中都是要求存在一个可逆矩阵，但一个是可逆矩阵的逆，一个是可逆矩阵的转置.它们都属于等价关系，即都有反身性、对称性、传递性.两者之间虽然存在某些内在联系，但并不是等价的，只有二者定义中的可逆矩阵是正交矩阵时，二者才等价.关键词：相似矩阵；合同矩阵；特征值1引言相似矩阵与合同矩阵是线性代数中很重要的两个
2、概念，前人对它们进行了很详尽的研究和比较完美的应用，本文从他们的定义出发对它们进行了简单的介绍并对它们的判断方法进行了总结，用具体例子对它们的判断方法进行贴切的说明.这些对以后的线性代数问题会有很大用处.2相似矩阵与合同矩阵的定义及性质21相似矩阵的定义及性质211相似矩阵的定义设A、B为两个n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵C，使得C?1AC?B则称A与相B似，记为AB称可逆矩阵C为相似变换矩阵.在线性变换中，说同一线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的，反过来，若两矩阵相似，则它们可看成同一线性变换在两组不同基下所对应的矩阵.相似是矩阵之间的一种关系，它满足反身性，即AA；对称性，即若AB，则有
3、BA；传递性，即若AB且BC，则AC.212相似矩阵的性质性质1若矩阵AB，则A?B.证设AB，则存在可逆矩阵C，使得C?1AC?B两边同时取行列式，得B?C?1AC?C?1AC?A性质2可逆的相似矩阵，它们的逆矩阵也相似.证A，B均为可逆矩阵，且AB，则存在可逆矩阵C，使得B?1?C?1AC?C?1A?1C，?1即A?1?B?1.性质3若AB，则kA?kB，An?Bn其中k是任意常数，m为正整数.证设AB，则存在可逆矩阵C，使得从而有kB?kC?1AC?C?1?kA?C,即kA?kB.Bn?C?1AC?C?1AC?C?1AC?C?1AC?C?1AnCn即An?Bn.性质4若AB，f?x?是一
4、个多项式，则f?A?f?B?.证设f?x?a0?a1x?a2x?anx因为AB，所以存在可逆矩阵C，使得f?B?a0E?a1B?a2B2?anBn?a0E?a1?C?1AC?a2?C?1AC?an?C?1AC?2n?C?1?a0E?a1A?a2A2?anAn?C?C?1f?A?C即f?A?f?B?.性质5相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.证AB，则存在可逆矩阵C，使得而?E?B?E?C?1AC?C?1?E?A?C?C?1?E?AC?E?A即矩阵A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.性质6两个n阶方阵A,B有相同的特征值，证明：它们的特征向量之间相差一个可逆矩阵因子.证若矩
5、阵A,B相似，则存在X，使得B?X?1AX，进而设A的属于?0的特征向量为?，则?0E?A?=0，于是由A?XBX?1知，?0E?A?=?0E?XBX?1?=0用X?1左乘上式，得?0E?B?X?1?=0.这就意味着X?1?是B的属于特征值?0的特征向量.同理可证，若?为矩阵B的属于特征值?0的特征向量，则X?必为A的属于?0的特征向量.tAtB?另外，相似矩阵有相同的迹.即若AB，则r?r?且B?diag?1,?2,?n?,?;若AB，则?1，?2?n为A的特征值；若矩阵A,B均可逆，且AB，则A*?B*.213相似矩阵的判定定理1两矩阵相似的充要条件是?E?A等价于?E?B.为此,引入以下
6、引理引理1如果有P,Q使得?E?A?P?E?B?Q,则A与B相似.引理2对于任何不为零的矩阵A和?-矩阵U?，V?,一定存在Q?，R?，U0，V0，使得U?E?A?Q?U0V?R?E?A?V0.合同矩阵的定义及性质221合同矩阵定义设A,B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得CTAC?B，则称矩阵A与B合同，记A?B合同是矩阵之间的另一种关系，它满足反身性，即A?ETAE；对称性，即若B?CTAC，则有A?C?1?BC?1；T传递性，若A1?C1TAC1和A2?C2TAC12，则有A2?C1C2?A?C1C2?因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.在数域P中要使两
7、个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.合同矩阵的性质性质1合同的两矩阵有相同的二次型标准型.性质2在数域P上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.性质3矩阵合同与数域有关.例1证明：E与?E在复数域上合同，但在实数域上不合同.T?i?证取C=?00?T?，则有?E?CEC，即E与?E在复数域上合同.又若存在实满?i?秩矩阵R,使?E?RTER?RTR，这是不可能的：因为?E的第一行第一列交叉位置上的元素为-1，而RTR的对应元素却为r112?r212?rn12其中r11,r21,?rn1为R的第一列元素，故r112?r212?rn12不等于-1，因此，E与?E在实数域上不合同.例2设A
8、,B均为数域F上的n阶矩阵,若A,B合同，则r?A?r?B?,反之，若r?A?r?B?,问在F上是否合同？证若A与B合同，即存在可逆矩阵C，使B?CTAC.由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵的秩，故A与B有相同的秩.?10?11?反之，若r?A?r?B?，则A与B在F上不一定合同.例如，方阵A=?，=B?0101?的秩相等，而非对称方阵不能与对称方阵合同.?A例3设=A?1?00?B1，=B?A2?00?证明：如果A1与B1合同，A2与B2合同，则A与B?，B2?合同.证由于A1与B1合同，A2与B2合同，故存在满秩矩阵C1，C2，使得B1?C1TA1C1，?C10?TB2?C2TA2C2，于是
9、令C?，则有B?CAC，即A与B合同.?0C2?223合同矩阵的判定定理1两复数域上的n阶对称矩阵合同的充分必要条件上是二者有相同的秩.证由于二次型通过满秩线性代换时秩不变，故两个二次型能互化时，秩一定相等.反之，A，B都是n阶对称矩阵，对应的二次型分别是f，g，若f与g的秩相等，都是r，则f与g必可分别通过复满秩线性代换，设为X?C1Z，Y?C2Z化为同一规范形.于是，f便可通过满秩线性代换X?C1C2?1Y化为g，而g又可通过满秩线性代换Y?C2C1?1X化为f，即f与g可以互化.定理2两实数域上的n阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差.证由于实二次型通过实满秩线性代换不改
10、变二次型的秩和符号差，而两个实二次型能互化的充要条件是两者有相同的规范形，从而两者可互化的充要条件是有相同的秩与符号差.矩阵相似与矩阵合同的一些不同之处，如矩阵A，B相似，有矩阵A，B的行列式的值相等；且A，B有相同的特征值.但若矩阵A，B合同，那么A与B的行列式的值不一定相等；A，B也不一定有相同的特征值.一般情况下，由矩阵A，B相似不一定能得出矩阵A，B合同，反之，由矩阵A，B合同也不一定能得出矩阵A，B相似.例4设?1A=?1?21?12?，B=?0?1?0?，C=?13?4?01?2?1?不难验证：CTAC?B，即矩阵A，B合同，但A的特征值为31和.413和；B的特征值为22矩阵的相
11、似与合同及其等价条件研究指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用1-10，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化9，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1矩阵的等价与相似及其合同的基本概念矩阵等价的定义1定义如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到，称A与B是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义如果n阶矩阵A可以由n阶矩阵B进过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的.根据
12、初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义设矩阵A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P和Q,使得PAQ?B,则称矩阵A与B等价，记作AB.矩阵相似的定义2定义设矩阵A，B为n阶矩阵，如果存在一个是n阶可逆矩阵P，使得P?1AP?B,则称矩阵A与矩阵B相似，记作AB.n阶矩阵的相似关系，具有下列性质3:性质反身性，即任一n阶矩阵A与自身相似.性质对称性，即如果AB，则BA.性质传递性，如果AB，BC，则AC.性质P?1(k1A1?k2A2)P?k1P?1AP?k2A2P.12性质P?1(A1A2)P?(P?1A1P)(P?1A2P).性质若矩阵A与矩阵B相似，
13、则Am与Bm相似.证明存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，那么P?1AP可以得到Am与相Bm相似.性质如果矩阵A、B都是满秩，则AB，那么BA.证明存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，那么P?1AP故可以得到BA.性质如果矩阵AB，那么A?B.证明存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，又因为P?1AP?B，P?1P?1，故可以得到A?B.性质相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.证明设B?P?1AP，若矩阵B可逆，B?1?P?1AP也相似.若B不可逆，则P?1AP不可逆，即A也不可逆.性质相似矩阵有相同的特征值.证明设B?P?1AP，?E?B?P?1?EP?P?1AP?1?1?1?1?m?Bm?P?1AmP，故?1?B?1?P?1A?1P，?1?P?1A?1P，从而B?1和A?1?P?1?E?A?P?E?A故矩阵A的特征值与矩阵B有相同的特征值.性质相似矩阵有相同的迹.证明可以设矩阵A与矩阵B相似，那么存在一个可逆矩阵P,使得P?1AP?B，tr?B?trP?1AP?trP?1PA?tr?A?20?30?例1A?，B?03?02?，求分别求矩阵A、B的特征多项式，特征值秩,?迹，行列式，矩阵A与B是否相似，它们之间有什么关系？解从已知可知A?XX?6，Rank(A)?2,tr(A)?5
