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1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划相似合同关系定义如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为AB。等价具有反身性即对任意矩阵A，有A与A等价；对称性若A与B等价，则B与A等价传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。用矩阵的初等变换求解矩阵方程最常见的方程有以下两类：设A是n阶可逆矩阵，B是nm矩阵，求出矩阵X满足AXB原理：AXB时设A是n阶可逆矩阵，B是mn矩阵，求出矩阵X满足XAB。解：由方程XABXAABA解为x=BA-1-1-1-1-1要注意的是，矩阵方程XAB的解为x=BATT
2、TTTTT，而不可以写成x=AB。TT-1T-1T因为X满足XABX满足AXB从而有X=B=T-1所以，可以先用上述方法求解AXB，再把所得结果X转置即得所需的XBA。定义如果向量组R能由向量组S线性表出，反之,向量组S也能由向量组R线性表出，则称向量组R与S等价。向量组之间的等价关系有下列基本性质：设A,B,C为三个同维向量组，则有定义设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵p使得B=pAP。则称A和B是相似的，记为AB。-1当两个n阶方阵A和B之间存在等式B=PAP时，我们就说A经过相似变换变成了B。同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：反身性AA，这说明任意一个方阵都与自己相似。
3、事实上，有矩阵等式-1对称性若AB则BA，这说明A和B相似与B和A相似是一致的。事实上，有传递性若AB，BC则ACP，这说明当A和B相似，B和C相似时，A和C一定相似。事实上，由B=PAP，C=QBQ即可推出C=QPAPQ=A定理相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。需注意的是A与B不一定有相同的特征向量。-1-1-1-1-1定理阶方阵A与对角阵PAP=特征向量。-1相似的充分必要条件是A有n个线性无关的两个重要结论：任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵；对角元两两互异的三解矩阵一定相似于对角矩阵；若A中任一k的特征根对应有k个线性无关特征向量，则A
4、一定与对角阵相似.定义如果一个同维向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交，则称该向量组为正交向量组。定义若是R中的一个正交向量组，且其中每个向量都是n单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组。定理正交向量组必线性无关。必有向量组正交，且是标准正交组。(正交单位向量组)，则称A为正交矩阵。，则称A与B正交相似。定义如果n阶实方阵A满足定义设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得定理对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵P，使得对角矩阵中的n个对角元就是A的n个特征值。反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。定理两个有相同特征值的同阶对称矩阵一定是正交相似矩阵定义设A，
5、B都是n阶方阵，若存在可逆阵P使得。则称A与B合同。由上面的定义可见矩阵A与矩阵B相似与合同是两个完全不同的的概念，但是若Q正交，则,所以A与B正交相似与A与B正交合同是一回事。合同关系也有反身性：即任给方阵A，有，所以，A与A合同；，则对称性：若A与B合同，则存在可逆阵P使得所以B与A也合同。传递性:因为A与B合同，B与C合同，则存在可逆阵P，Q，使得A与C合同。定理实对角矩阵定理设n阶矩阵为正定矩阵当且仅当中的所有对角元全大于零。，注意PQ一定可逆，所以是正定矩阵，则A中所有对角元定理设A与B是两个合同的实对称矩阵，则A为正定矩阵当且仅当B为正定矩阵。定理同阶正定矩阵之和必为正定矩阵。定理
6、n阶对称矩阵定理n阶对称矩阵推论n阶对称矩阵n阶对称矩阵是正定矩阵是正定矩阵是正定矩阵是正定矩阵的n个特征值全大于零的n个顺序主子式的正惯性指数为n.合同于单位矩阵。(3)任意两个同阶的正定矩阵必是合同矩阵.目录摘要.I引言.11矩阵间的三种关系.矩阵的等价关系.矩阵的合同关系.矩阵的相似关系.22矩阵的等价、合同和相似之间的联系.33矩阵的等价、合同和相似之间的区别.5结束语.6参考文献.6摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系.根据等价
7、、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致还有矩阵的相似与合同之等价条件并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系矩阵的
8、等价关系定义1两个s?n矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使B?PAQ由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A与B等价必须具备的两个条件：矩阵A与B必为同型矩阵.存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q,使得B?PAQ.性质1反身性：即A?A.对称性：若A?B，则B?A传递性：即若A?B，B?C，则A?C定理1若A为m?n矩阵，且r(A)?r，则一定存在可逆矩阵P和?IrQ，使得PAQ?00?B.其中Ir为r阶单位矩阵.?0?m?n推论1设A、B是两m?n矩阵，则A?B当且仅当r(A)?r(B).矩阵的合同关系定义2设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩
9、阵p，使得PTAP?B,则称矩阵为合同矩阵，由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件：(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2)存在数域p上的n阶矩阵p,PTAP?B性质2反身性：任意矩阵A都与自身合同.对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同.传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22f?y12?y2?yr矩阵的相似关系定义3设A,B均为数域p上n阶方阵，
10、若存在数域p上n阶可逆矩阵p使得P?1AP?B,则称矩阵A与B为相似矩阵由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)在数域p上n阶可逆矩阵P，使得P?1AP?B性质3(1)反身性A?ETAE;(2)对称性由B?CTAC即得A?C?1?BC?1;传递性A1?C1TAC1和A2?C2TA1C2即得A2?C1C2?A?C1C2?总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4)P(k1A1?k2A2)P?k1PA1P?k2PA2P；(5）P(A1A2)P?(PA1P)(PA2P)
11、；(6）若A与B相似，则Am与Bm相似；(7)相似矩阵有相同的秩，而且，如果B?PAP为满秩矩阵，那么B?1?1TT?1?1?1?1?1?1?(PAP)?1?1?PAP.?1?1即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；因为如果B?P?1AP，则有：B?P?1AP?P?1AP?A(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设B?P?1AP，若B可逆，则B?1?(P?1AP)?1?PA?1P?1从而A可逆.且B?1与A?1相似.若B不可逆，则(P?1AP)不可逆，即A也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4相似矩阵的特征值相同.推论3相似矩阵有相同的迹.2矩阵的等价、合同和相似之间的联系由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵证明：设n阶方
