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1、 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一12012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，:请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 曲线 渐近线的条数 ( )21xy(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数 ,其中 为正整数,则 ( )2()()xxnxee (0)y(A) (B) (C) (D) 1!n 1!1!n1!n(3) 如果函数 在 处连续,那么下列命题正确的是 ( )(,)fxy0(A) 若极限 存在,则 在 处可微 0limxy(,)fx
2、y0,(B) 若极限 存在,则 在 处可微20()lixyf(,)f,(C) 若 在 处可微,则 极限 存在(,)f 0(,)limxyf(D) 若 在 处可微,则 极限 存在(,)fxy020(,)lixyf(4)设 则有 ( )20sin(1,23kxKedkI(A) (B) (C) (D)123I321II231II213I(5)设 , , , ,其中 为任意常数，则下列向量组线性相关10C213C41234,C的为( )(A) (B) (C) (D)123,124,134,234,(6) 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 .若 P=（ ） ， ，则102pAP123,
3、123(,)( )1Q 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一2(A) (B) (C) (D) 10210201201(7)设随机变量 与 相互独立，且分别服从参数为 与参数为 的指数分布，则 ( )XY4pXY(A) (B) (C) (D) 151355(8)将长度为 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )m(A) (B) (C) (D)2121给大家分享点个人的秘密经验，让大家考得更轻松。在这里我想跟大家说的是自己在整个考研过程中的经验以及自己能够成功的考上的捷径。首先就是自己的阅读速度比别人的快，考试过程中的优势自然不必说，平时的学习效率才是关键，其实很多人不是真的不
4、会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。研究生考试关键就是你的专业技能和常识积累。很多人的失败是输在时间上的，我做事情特别注重效率。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过 3 分钟，这样就比别人多出 20 几分钟，这在考试中是非常不得了的。论坛有个帖
5、子专门介绍速读的，叫做“速读记忆让我的考研复习奔跑起来” ，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了很好的成绩。那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。当然，有经济条件的同学，千万不要吝啬，花点小钱在自己的未来上是最值得的，你已经耗费了那么多的时间和精力，现在既然势在必得，就不要在乎这一刻。想成功的同学到这里用这个软件训练速读，大概 30 个小时就能练出比较厉
6、害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的学习技巧， 极力的推荐给大家给做了超链接，按住键盘左下角 Ctrl 键，然后鼠标左键点击本行文字。其次，从选择的复习资料上来说，我用的是学习软件，不是一般的真题，我认为从电脑上面做题真的是把学习的效率提高了很多，再者这款软件集成最新题库、大纲资料、模拟、分析、动态等等各种超强的功能，性价比超高，是绝不可缺的一款必备工具，结合上速读的能力，如虎添翼，让整个备考过程效率倍增。想学的朋友可以到这里下载也给做了超链接，按住键盘左下角 Ctrl 键，然后鼠标左键点击本行文字二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.:(
7、9)若函数 满足方程 及 ，则()fx()2()0fxffx()2fxfe()fx(10) 220d=(11) (2,1)(|zgraxy+(12)设 ，则 ,0,yzxyz2yds(13)设 为三维单位向量， E 为三阶单位矩阵，则矩阵 的秩为 X TEX(14)设 , , 是随机变量，A 与 C 互不相容， BC1,3pABPCpAB三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一3骤.(15)证明21lncos1(1)xx(16)求函数 的极值2(,)xyfe(17)求幂级数 的收敛
8、域及和函数220431nnx(18)已知曲线 其中函数 具有连续导数，且 若曲线(),:0),cos2ftLty()ft (0),()0).2fftt的切线与 轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数 的表达式，并求此曲线 与 轴与 轴无边界的区域的x ()ft Lxy面积。(19)已知 是第一象限中从点 沿圆周 到点 ，再沿圆周 到点 的曲线段，计算曲L(0,)2+xy(2,0)2+4xy(0,2)线积分 23ddJxy(20)(本题满分 分)设110,0aA（I）计算行列式 ;(II)当实数 为何值时，方程组 有无穷多解，并求其通解。aAx(21)已知 ，二次型 的秩为 210Aa123(,)
9、()TfxAx（1）求实数 的值； （2）求正交变换 将 化为标准型.xQyf（22）设二维离散型随机变量 、 的概率分布为XY0 1 2014014 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一41 0130212012（）求 ；PXY（）求 .Cov(,)(23)设随机变量 与 相互独立且分别服从正态分布 与 ，其中 是未知参数且 。设Y2(,)Nu2(,)0.ZX(1)求 的概率密度 2(,);fz（2）设 为来自总体 的简单随机样本，求 的最大似然估计量12,nz Z22（3）证明 为 的无偏估计量数一参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8C C B D C B A D二、填
10、空题9、 ； 10、 ； 11、 ； 12、 ； 13、2； 14、xe21,3134三、解答题(15)证明：令 ， 是偶函数21lncos1xxf()f2lifx02141cos1xfx x2244cos10x所以0ff 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一5即证得： 21lncos11xx(16) 解：2222 2, 0, 0xyxyxyxyfeefy得驻点 12,0,P22222 222, 1,1xyxyxyxyfexffey根据判断极值的第二充分条件， 把 代入二阶偏导数 B=0，A0，C0，所以 为极小值点，极小值为1,0P 1,0P2,0fe把 代入二阶偏导数 B=0，A0
11、，C0，所以 为极大值点，极大值为2, ,12,fe(17) 解：（）收敛域令22(1)2 22143() 43(1)limli lim(1) 143nnn nxax nR x ，得 ，当 时，技术发散。所以，收敛域为2xx(,)（）设2 22 2200043(1)() 1(1)1nnnnnSxxxx令 ，210()nx 20()nnS因为 2211 2000()(1)(1)xxnnxStdtd 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一6所以2121()()xxS因为 120()nn所以 222 2001() ()nnxSxx所以 2200011()()ln()xxx xtdtdtdtt即
12、 ，故20()lnxS2()lnSx当 时，21()lx当 时，0x12,(0)S所以，21211ln(,0),1()()3xxx(18)解：曲线 在任一处 的切线斜率为 ，过该点 处的切线为 。L(,)xysin()dytxf(,)xysinco()tYtXftf令 得 。由于曲线 与 轴和 轴的交点到切点的距离恒为 1.0YcotXffL故有 ，又因为2()t()s1f t()0)2ftt所以 ，两边同时取不定积分可得 ，又由于 ，所以 C=0 故sincot lnsecasintC(0)f函数 ()leasinft此曲线 与 轴和 轴所围成的无边界的区域的面积为：Lxy20cos()4S
13、tfd(19)解：补充曲线 沿 轴由点 到点 ,D 为曲线 和 围城的区域。由格林公式可得1Ly(2,0)(,)L1原式= 1 12323dd(2)dLxxyxyxy 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一7= 1 122(31)()2DLDLxdydy200 44(20)解：（I） 41410100=()1aaaA a(II) 对方程组 的增广矩阵初等行变换：x2 321010101aaaa421010aa可知，要使方程组 有无穷多解，则有 且 ，可知Ax410a20a1a此时，方程组 的增广矩阵变为 ，进一步化为最简形得 可知x 10001导出组的基础解系为 ，非齐次方程的特解为 ，故其通解为11001k(21)解：（1）由
