振动理论及应用

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1、1,振动理论及应用,返回首页,Theoretical Mechanics,天津大学,第20章 振动,20.1 单自由度系统的自由振动,20.2 计算固有频率的能量法,20.3 单自由度系统的衰减振动,20.4 单自由度系统的受迫振动,Theoretical Mechanics,第20章 振动,引 言,振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动。 物理学知识的深化和扩展物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。,返回首页,4,神州二号,振动应用 航天工程,5,神州二号,振动应用 航空工程,6,振动应用 车辆工程,7,振动应用 土木工程,8,振动应

2、用 计算机工程,9,10,有用的一面：利用振动现象的特征设计制造机器和仪器仪表，例：振动筛选机、振动打桩机、振动给料机、仓壁振动器、钟表计时仪器、振子示波器等。 不利的一面：产生噪音、影响机器的正常运转，影响其安全性和可靠性、使机床的加工精度、精密仪器的灵敏度下降、使机械设备的使用受命缩短，严重时引发机器的损坏引发事故 。,Theoretical Mechanics,振动问题的研究方法与分析其他动力学问题相类似：,选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。,返回首页,第20章 振动,引 言,Theore

3、tical Mechanics,振动问题的研究方法与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。,研究振动问题所用的动力学定理：,矢量动力学基础中的动量定理； 动量矩定理； 动能定理； 达朗贝尔原理。 分析动力学基础中的拉格朗日方程。,返回首页,第20章 振动,引 言,Theoretical Mechanics,所考察的系统既有惯性又有弹性。 运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。,振动问题的共同特点,返回首页,第20章 振动,引 言,Theoretical Mechanics,按激励特性划分：,振动问题的分类,自由振动没有外部激励，或者外部激励除去后，系统

4、自身的振动。 受迫振动系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 自激振动系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。 参激振动激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。,返回首页,第20章 振动,引 言,Theoretical Mechanics,按系统特性或运动微分方程类型划分：,振动问题的分类,线性振动系统的运动微分方程为线性方程的振动。,非线性振动系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。,返回首页,第20章 振动,引 言,Theoretical Mechanics,按系统的自由度划分：,振动

5、问题的分类,单自由度振动一个自由度系统的振动。 多自由度振动两个或两个以上自由度系统的 振动。 连续系统振动连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。,返回首页,第20章 振动,引 言,返回首页,Theoretical Mechanics,第20章 振动,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,天津大学,20.1 单自由度系统的自由振动,关于单自由度系统振动的概念,典型的单自由度系统:弹簧-质量系统,梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧-质量系统,返回首页,Theoretic

6、al Mechanics,天津大学,20.1.1 自由振动方程 20.1.2 振幅、初相位和频率 20.1.3 等效刚度系数 20.1.4 扭转振动,返回首页,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,20.1 单自由度系统的自由振动,20.1.1 自由振动方程,当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为,其中,取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到,无阻尼自由振动微分方程,固有圆频率,返回首页,Theoretical Mechanics,返回首页,20.1 单自由度系统的自由振动,20

7、.1.1 自由振动方程,其通解为：,其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时， 可解,Theoretical Mechanics,这种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。,另一种形式,无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动,返回首页,20.1 单自由度系统的自由振动,20.1.1 自由振动方程,Theoretical Mechanics,20.1.2 振幅、初相位和频率,系统振动的周期,系统振动的频率,系统振动的圆频率为,返回首页,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,用弹簧静变形量dst表示固有圆频

8、率的计算公式,物块静平衡位置时,固有圆频率,返回首页,20.1.2 振幅、初相位和频率,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,20.1.3 等效刚度系数,单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程,等效的概念,这一方程，可以等效为广义坐标的形式,返回首页,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,等效的概念,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,串联弹簧与并联弹簧的等效刚度,例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。

9、,解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。,振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是dst，而弹性力分别是,系统平衡方程是,Theoretical Mechanics,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则,k称为并联弹簧的等效刚度系数。,并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。,系统的固有频率,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的

10、自由振动,Theoretical Mechanics,（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。,当物块在静平衡位置时，它的静位移dst等于每根弹簧的静变形之和，即 dst = d1st + d2st,由于每根弹簧所受的拉力都等于重力mg，故它们的静变形分别为,如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于,k称为串联弹簧的等效刚度系数,串联后的弹簧刚度系数的倒数等于

11、各串联弹簧刚度系数倒数的算术和,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,组合弹簧的等效刚度,例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自由振动频率。,解：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质量所在处。先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。,设在C处作用一力F，按静力平衡的关系，相当B处作用力 ，,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,由此力使弹簧k2产生的变形，而此变形使C点发生的变形

12、为,Theoretical Mechanics,得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数,物块的自由振动频率为,将其与弹簧k1串联，可得整个系统的等效刚度系数,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,弹性梁的等效刚度,例 一个质量为m的物块从 h 的高处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。,解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧质量系统。如果知道系统的静变形dst，则求出系统的固有频率,返回首页,20.1.3

13、 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为,求出系统的固有频率为,中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，则t=0时，有,自由振动的振幅为,梁的最大挠度,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,20.1.4 扭转振动,等效系统

14、,内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。,扭振系统称为扭摆。其中 OA 为一铅直圆轴，圆盘对中心轴 OA 的转动惯量为IO。在研究扭摆的运动规律时，假定圆轴的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角 来决定，称扭角。圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。,根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程,返回首页,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程,扭振的运动规律,对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振

15、动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。,返回首页,20.1.4 扭转振动,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,图 (a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。,并联轴系的等效刚度系数,串联轴系的等效刚度系数,返回首页,20.1.4 扭转振动,20.1 单自由度系统的自由振动,39,返回首页,Theoretical Mechanics,第20章 振动,20.3 单自由度系统的衰减振动,Theoretical Mechanics,天津大学,20.3 单自由度系统的衰减振动,阻尼系统中存在的各种

16、阻力：干摩擦力，润滑 表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的 阻力。,物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系,c粘性阻尼系数或粘阻系数。它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Ns/m)。,返回首页,Theoretical Mechanics,运动微分方程,图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程,特征方程,特征根,返回首页,20.3 单自由度系统的衰减振动,Theoretical Mechanics,特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关,强阻尼（npn）情形,临界阻尼(n = pn )情形,阻尼对自由振动的影响,运动微分方程,特征根,返回首页,20.3 单自由度系统的衰减振动,Th