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1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划极限,知识总结无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质，在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法。最后归纳
2、总结求极限的常用方法和技巧，课堂练习。【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了n?数列xn的极限、x?函数f?x?的极限、x?x0函数f(x)的极限这七种趋近方式。下面我们用?x?表示上述七种的某一种趋近方式，即?n?x?x?x?x?x0x?x0?x?x0?定义：当在给定的x?下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x?下的无穷小，即limf?x?0。x?例如,?limsinx?0,?函数sinx是当x?0时的无穷小.x?0?lim11?0,?函数是当x?时的无穷小.x?xx(?1)n(?1)n是当n?时的无穷小.?lim?0,?数列n?nn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可
3、以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的x?下，f?x?无限增大，则称f?x?是x?下的无穷大，即limf?x?。显然，n?时，n、n2、n3、?都是无穷大量，x?【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如lime?0，lime?，x?x?xx所以e当x?时为无穷小，当x?时为无穷大。2无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果f?x?为无穷大，x则11为无穷小；反之，如果f?x?为无穷小，且f?x?0，则为无穷大。fxfx小结：无穷大量、无穷小量的概
4、念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系:定理1limf(x)=A?x?x0xf(x)A+?(x),其中?(x)是自变量在同一变化过程x?x0中的无穷小.证：设limf(x)=A,令?(x)=f(x)-A,则有lim?(x)=0,x?x0x?x0?f(x)?A?(x).设f(x)=A+?(x),其中?(x)是当x?x0时的无穷小，则xx0limf(x)=lim(A+?(x)?A?lim?(x)?A.xx0x?x0【意义】将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);给出了函数f
5、(x)在x0附近的近似表达式f(x)?A,误差为?(x).3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.11但n个之和为1不是无穷小.例如,n?时,是无穷小，nn定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：lim(?1)n?n111?0，limxsin?0，limsinx?0x?0x?xnx推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，当x?0时,x,x,sinx,xsin221都是无穷小，观察各极限：xx2lim?0,x2比
6、3x要快得多;x?03xsinx?1,sinx与x大致相同;x?0x1x2sin?limsin1不存在.不可比.limx?0x?0xx2lim极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1定义:设?,?是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且?10.?=0,就说?是比?高阶的无穷小,记作?=o(?);?(2)如果lim?C(C?0),就说?与?是同阶的无穷小;?特殊地如果lim=1,则称?与?是等价的无穷小，记作?;?(3)如果limk=C(C?0,k0),就说?是?的k阶的无穷小.?(1)如果lim例1证明:当x?0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.tanx34xtan3x?4lim()?
7、4,故当x?0时,4xtan3x为x的四阶无穷小证：lim.4x?0x?0xx例2当x?0时,求tanx?sinx关于x的阶数.解?limx?0tanx?sinxtanx1?cosx1?lim(?)?,?tanx?sinx为x的三阶无穷小.x?0x3xx222常用等价无穷小:当x?0时,sinxx；arcsinxx；tanxx；xarctanxx；ln(1?x)x；e?1xx2x1?cosx(1?x)?1?xa-1lna*x2用等价无穷小可给出函数的近似表达式:?lim?1,?lim?0,即?o(?),于是有?o(?).?12x?o(x2).2例如sinx?x?o(x),cosx?1?3等价无
8、穷小替换定理：设?,?且lim?存在,则lim?lim.?证：lim?)?lim?lim?lim?lim.?2tan22xex?1.；lim例3求limx?01?cosxx?0cosx?112(2x)2解:当x?0时,1?cosxx,tan2x2x.故原极限=lim=8x?02x221x2?原极限=lim=2x?02x?2例4求limx?0tanx?sinx.3sin2x错解:当x?0时,tanxx,sinxx.原式?limx?x=0x?0(2x)313x,2正解:当x?0时,sin2x2x,tanx?sinx?tanx(1?cosx)13x1.故原极限=lim3?x?0(2x)16【注意】和
9、、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例5求limtan5x?cosx?1.x?0sin3x12x?o(x2).212o(x)1o(x2)25x+o(x)+x+o(x)5?x?5.原式=lim?limx?0x?03x+o(x)33?x解:?tanx?5x?o(x),sin3x?3x?o(x),1?cosx?三、极限的简单计算1.代入法：直接将x?x0的x0代入所求极限的函数中去，若f?x0?存在，即为其极2x5?3x4?2x?12?；若f?x0?不存在，我们也能知道属于哪种未定式，限，例如lim3x?193x?2x?40x2?9便于我们选择不同的方法。例
10、如，lim就代不进去了，但我们看出了这是一个型x?3x?30未定式，我们可以用以下的方法来求解。2.分解因式，消去零因子法x2?9?lim?x?3?6。例如，limx?3x?3x?33.分子有理化法例如，limx?2x2?5?32x?1?5?limx?2x2?5?32x?1?2x?1?2x?1?5x?5?3x2?5?32x2?4?limx?22x?4?lim?x?2?x?2?x?22x?2?2又如，limx?x22?1?x?lim?1x?1?x2x?04.化无穷大为无穷小法1-3x+x-7例如，lim=limx2x2-x+4x12-+x3+无穷大量。由此不难得出7=3，实际上就是分子分母同时除
11、以x2这个42x2?a0，n?m?ba0xm?a1xm?1?am?0lim?0，n?mx?bxn?bxn?1?b01n?，n?m?又如，lim?xx?2?limx?x?1x?1，。2?x?2?1nn2?5?5?n?lim?1，再如，limn。nnn?3?5n?3?1?5?5.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限n极限基础知识:1.特殊数列的极限?0?nlimq?1n?不存在?|q|?1q?1|q|?1或q?1.?0(k?t)?aknk?ak?1nk?1?a0?atlim?(k?t).n?bnt?bnt?1?btt?10?bk?不存在(k?t)?S?lima11?qn1?q?n?a1n?1.
12、1?q?2.函数的极限定理x?x0limf(x)?a?lim?f(x)?lim?f(x)?a.x?x0x?x03.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：g(x)?f(x)?h(x);limg(x)?a,limh(x)?a,x?x0x?x0则limf(x)?a.本定理对于单侧极限和x?的情况仍然成立.x?x04.几个常用极限lim111?0，liman?0；limx?x0，lim?.n?n?nx?x0x?x0xx0x5.两个重要的极限sinx?1?1；limlim?1?e(e=).x?0x?x?x?6.函数极限的四则运算法则若limf(x)?a，limg(x)?b，则x?x0x?x0(1)lim?f?x?g?x?a?b；(2)lim?f?x?g?x?a?b;x?x0x?x0(3)limx?x0f?x?a?b?0?.gxb7.数列极限的四则运算法则若liman?a,limbn?b，则(1)lim?an?bn?a?b；(2)lim?an?bn?a?b；n?n?n?n?(3)limana?b?0?(4)lim?c?an?limc?liman?
