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1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划材料考研数学几高等数学第一章函数与极限第一节函数邻域U?a,?x|x?a?无穷小与无穷大的相关定理与推论假设f?x?为有界函数，g?x?为无穷小，则lim?f?x?g?x?0在自变量的某个变化过程中，若f?x?为无穷大，则f?1?x?为无穷小；反之，若f?x?为无穷小，且f?x?0，则f?1?x?为无穷大【题型示例】计算：lim?f?x?g?x?x?x0?U?a,?x|0?x?a?第二节数列的极限数列极限的证明【题型示例】已知数列?xn?，证明lim?xn?ax?1f?x?M函数f?
2、x?在x?x0的任一去心邻域U?x0,?内是有界的；2limg?x?0即函数g?x?是x?x0时的无穷小；x?【证明示例】?N语言1由xn?a?化简得n?g?，N?g?2即对?0，?N?g?。当n?N时，始终有不等式xn?a?成立，lim?xn?ax?x?x03由定理可知lim?f?x?g?x?0x?x0x?【题型示例】已知函数f?x?，证明limf?x?Ax?x0第三节函数的极限x?x0时函数极限的证明第五节极限运算法则极限的四则运算法则加减法则乘除法则关于多项式p?x?、q?x?商式的极限运算mm?1?p?x?a0x?a1x?am设：?nn?1?q?x?b0x?b1x?bn?n?m?p?x
3、?a0?n?m则有limx?qx?b0n?m?0?f?x0?g?x0?0?gx0f?x?g?x0?0,f?x0?0lim?x?x0gx?0?g?x0?f?x0?00?f?x?0时，通常分x?x0gx0【证明示例】?语言1由f?x?A?化简得0?x?x0?g?，?g?2即对?0，?g?，当0?x?x0?时，始终有不等式f?x?A?成立，limf?x?Ax?x0x?时函数极限的证明【题型示例】已知函数f?x?，证明limf?x?Ax?【证明示例】?X语言1由f?x?A?化简得x?g?，X?g?2即对?0，?X?g?，当x?X时，始终有不等式f?x?A?成立，limf?x?Ax?第四节无穷小与无穷大
4、无穷小与无穷大的本质函数f?x?无穷小?limf?x?0函数f?x?无穷大?limf?x?子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值limx?3x?3x2?9【求解示例】解：因为x?3，从而可得x?3，所以原x?3x?311?lim?lim?x?3x2?9x?3x?3x?3x?3x?36x?3其中x?3为函数f?x?2的可去间断点x?9式?lim倘若运用罗比达法则求解：?2x?3?解：lim?x?2x?1?x?1?2x?1?2?lim?x?2x?1?2x?12?x?1?22x?1x?12?lim?1?2x?1?2x?1?2x?12?lim?1?2
5、x?1?2x?1?2x?12x?1?22?lim?1?2x?1?2x?1?x?1?2?lim?x?1?2x?1?2x?1?x?1?x?3?x?311?lim?lim?解：lim2x?3x?9L?x?3x?32x6?x2?9?连续函数穿越定理若函数f?x?是定义域上的连续函数，那00?2?lim?1?2x?1?2x?1?e2x?1?2x?12?2x?1?2x?1lim?2?e?2x?2?lim?2x?1?e1?e?x?f?lim?x?么，limf?x?x0?x?x0?【题型示例】求值：limx?3x?3x2?9【求解示例】x?3?第七节无穷小量的阶等价无穷小以下等阶无穷小必须记住Sinxxtan
6、xxarcsinxxarctanxxLn(1+x)xex-1x1-cosx1/2(x2)secx-11/2(x2)UsinUtanUarcsinUarctanUln(1?U)1U?e?1?2U1?cosUln?1?x?xln?1?x?【题型示例】求值：lim2x?0x?3x【求解示例】ln?1?x?xln?1?x?解：因为x?0,即x?0,所以原式?limx?0x2?3x?1?x?ln?1?x?lim?1?x?x?limx?1?1?limx?0x?0xx?3x?0x?3xx?33第八节函数的连续性函数连续的定义x?x0?第六节极限存在准则及两个重要极限夹迫准则第一个重要极限：lim?x?0,1
7、22sinx?1x?0xsinx?1?，sinx?x?tanxlimx?0x?2?lim1x1x?0lim?lim?1x?0sinxx?0sinx?sinx?lim?x?0x?x?x?x0x?x0limf?x?lim?f?x?f?x0?x?x0单调有界收敛准则间断点的分类?跳越间断点第一类间断点?可去间断点?第二类间断点?）?无穷间断点?1?第二个重要极限：lim?1?ex?x?g?x?x?limf?x?limg?x?，其中?2x?3?【题型示例】求值：lim?x?2x?1?【求解示例】x?1?e2xx?0【题型示例】设函数f?x?，应该怎样选x?0?a?x择数a，使得f?x?成为在R上的连续
8、函数？【求解示例】?f?0?e2?0?e1?e?1?f0?a?0?a?f?0?a?f?x?limf?x?f?0?e2由连续函数定义lim?x?0x?02函数积的求导法则：(uv)?u?v?uv?a?e第九节闭区间上连续函数的性质零点定理书第一章第9、10节(期中没考，期末很可能考)【题型示例】证明：方程f?x?g?x?C至少有一个根介于a与b之间【证明示例】1函数?x?f?x?g?x?C在闭区间?a,b?上连续；2?a?b?03由零点定理，在开区间?a,b?内至少有一点?，使?g?C?04这等式说明方程f?x?g?x?C在开区间?a,b?内至少有一个根?第二章导数与微分第一节导数概念高等数学中
9、导数的定义及几何意义得?0，即f?u?u?v?uv?3函数商的求导法则：?2v?v?P94页的基本导数公式必须全部背下第三节反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则【题型示例】求函数f?1?x?的导数【求解示例】由题可得f?x?为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且f?x?0；?f?1?x?1f?x复合函数的求导法则【题型示例】设y?lne【求解示例】解：y?，求y?e?ex?1x?0【题型示例】已知函数f?x?，在x?0x?0?ax?b处可导，求a，b【求解示例】?f?0?e0?1?e0?1?2?f?0?e?1?1?，?f0?b?f?0?a?f?0?e0?1?2?e?e?earcsi?x
10、?a?22第四节高阶导数f?n?n?1?n?1?n?dydy）?x?n?n?1?dx?dx?f?0?f?0?a?12由函数可导定义?f0?f0?f?0?b?2a?1,b?2?x?f?【题型示例】求函数y?ln?1?x?的n阶导数【求解示例】y?【题型示例】求y?f?x?在x?a处的切线与法线方程【求解示例】1y?f?x?，y?|x?a?f?a?2切线方程：y?f?a?f?a?x?a?法线方程：y?f?a?1x?a?f?a1?1?1?x?，1?x?1?2?y?1?x?1?1?x?，?2?3?y?1?1?x?1?2?1?x?y?n?(?1)n?1?(n?1)！?(1?x)?n第五节隐函数及参数方程
11、型函数的导数隐函数的求导【题型示例】试求：方程y?x?e所给定的曲线C：y第二节函数的和、积与商的求导法则函数和、积与商的求导法则1线性组合：(?u?v)?u?v?特别地，当?1时，有(u?v)?u?v?y?y?x?在点?1?e,1?的切线方程与法线方程【求解示例】由y?x?e两边对x求导y即y?x?ey?化简得y?1?ey?y?y?成立，ex?e1?x?1?e11?11?e1?e又e?e，ex?e1?x?1?e1?e?x?e，?1化简得e?e?x，即证得：当x?1时，e?e?x【题型示例】证明不等式：当x?0时，ln?1?x?x【证明示例】1令函数f?x?ln?1?x?，则对xx1?x?1?e?1?e法线方程：y?1?1?e?x?1?e?切线方程：y?1?参数方程型函数
