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1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划材料的对称性第13章能量法及其应用对称性的利用在实际工程中，许多结构是对称的。利用对称性常可以使结构的受力分析得以简化。对于平面结构而言，所谓对称是指结构的全部构成对称于某一几何轴线。也就是说，若将结构绕该几何轴线对折后，结构轴线两侧应彼此完全重合。结构的对称性包括两个方面：结构的几何形状和支承情况与某一轴线对称；杆件截面和材料性质也与此轴线对称。例如，图13-25所示刚架是一个左右对称的刚架；图13-25所示的矩形涵管也是一个对称结构，并且具有两根对称轴；图13-25所示刚架，有一
2、根斜向的对称轴等。图13-25在结构对称的前提下，将受力结构沿对称轴对折后，若结构两部分上的力彼此完全重合，则称为正对称的力；若结构两部分上的力彼此重合但方向相反，则称为反对称的力。这些力既包括作用在结构上的荷载和约束力，也包括结构所产生的内力。对称结构在正对称荷载作用下，其变形和内力分布对称于结构的对称轴，如图13-26所示；对称结构在反对称荷载作用下，其变形和内力分布则将反对称于结构的对称轴，如图13-27所示。图13-26图13-27作用在对称结构上的任意荷载，都可以分解为一组对称荷载和另一组反对称荷载。例如，图13-28所示为一对称刚架，受到集中荷载和分布荷载作用，可将荷载分解为对称和
3、反对称的情况，如图13-28、所示。根据叠加原理，原结构所受的荷载及变形、内力就等于上述两组荷载分别作用的效果之和。可见，只要结构对称，对称性的利用就成为可能。计算对称结构的受力和变形时，如果能利用对称结构在对称和反对称荷载作用下的基本受力特点，就可以减少未知量数目，简化计算过程。/2q/2q=+图13-28例13-18试绘出图13-29所示的封闭框架的弯矩图。各杆弯曲刚度EI均为常数。FNA1/4结构荷载作用下弯矩图MA=1作用下弯矩图FFl/163Fl/16Fl/16Fl/16Fl/16Fl/161/4结构M图M图13-29解：原结构为三次超静定。由于该结构有两根对称轴，并受到对称荷载作用
4、，所以对称轴处截面只有对称内力，也即弯矩和轴力。如果取四分之一结构计算，如图13-29所示，则转化为一次超静定问题求解。选对称截面A处的弯矩MA为多余约束力，变形协调条件为A切开处左、右两截面间的相对转角为零，即?A?(?A)MA?(?A)F?0。分别画出四分之一结构在荷载作用下的弯矩图）及在MA?1作用下的弯矩图）。其中，11lFllFl3Fl2(?A)F?(?1?1)?EIEI(?A)MA?2ll(?1?1)?MA?MAEI2EI以此代入变形协调方程，得3Fl2l?MA?016EIEI解得MA?3Fl16EIFl，先绘出四分之一结构的弯矩图），再根据对称性，绘出整体结构的弯矩图）。例13-
5、19试绘出图13-30所示刚架的弯矩图。各杆的EI为常数。解：原结构为四次超静定。由于该结构有一根对称轴，并受到反对称荷载作用，所以对称轴处截面只有反对称内力，也即剪力。如果取半结构计算，如图13-30所示，则转化为一次超静定问题求解。选对称截面A处的剪力FSA为多余约束力，变形协调条件为A切开处左、右两截面间的相对竖向位移为零，即?VA?(?VA)FS?(?VA)F?0。分别画出半结构在荷载作用下的A弯矩图MP）及在FSA?1作用下的弯矩图1）。SB40kNSAMP图()半结构16060601M1图(m)M图()半结构M图()图13-30其中，(?VA)F?(?3?120?3?6?3)?EI
6、232EI(?VA)FSA?112722?(?3?3)?3?(3?6)?3FSA?FSAEI23EI以此代入变形协调方程，得?FSA?0EIEI解得FSA?也可采用叠加原理M?MP?FSA?1绘出半结构的弯矩图），再根据对称性，绘出整体结构的弯矩图）。自学材料：抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性。性质1、若函数yf(x)关于直线xa轴对称，则以下三式成立且等价：f(ax)f(ax)。f(2ax)f(x)。f(2ax)f(x)。性质2、若函数yf(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(ax)f(ax)。f(2ax)f(x)。f(2ax)f(x)。注：yf(x)为偶函数
7、是性质1当a0时的特例，f(x)f(x)。yf(x)为奇函数是性质2当a0时的特例，f(x)-f(x)。二、复合函数的奇偶性。性质1、复数函数yfg(x)为偶函数，则fg(x)fg(x)。复合函数yfg(x)为奇函数，则fg(x)fg(x)。性质2、复合函数yf(xa)为偶函数，则f(xa)f(xa)；复合函数yf(xa)为奇函数，则f(xa)f(ax)。性质3、复合函数yf(xa)为偶函数，则yf(x)关于直线xa轴对称。复合函数yf(xa)为奇函数，则yf(x)关于点(a,0)中心对称。三、函数的周期性。性质、若a是非零常数，若对于函数yf(x)定义域内的任一变量x点，有下列条件之一成立，
8、则函数yf(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa)，f(xa)f(x)，(推广到f(x+a)=b-f(x)b为常数)f(xa)1/f(x)，f(xa)1/f(x)。(推广到f(x+a)=?b/f(x)b为常数)四、函数的对称性与周期性。性质1、若函数yf(x)同时关于直线xa与xb轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|。性质2、若函数yf(x)同时关于点与点中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|。性质3、若函数yf(x)既关于点中心对称，又关于直线xb轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T4|ab|。五、复合函数的对称性。性质1、已知函数yf
9、(x)，则复合函数yf(ax)与yf(b-x)关于直线x(b-a)/2轴对称。性质2、已知函数yf(x)，则复合函数yf(ax)与y-f(b-x)关于点(b-a)/2,0)中心对称。推论1、已知函数yf(x)，则复合函数yf(ax)与yf(ax)关于y轴轴对称。推论2、已知函数yf(x)，则复合函数yf(ax)与yf(ax)关于原点中心对称。六、例题1已知定义为R的函数f?x?满足f?x?f?x?4?，且函数f?x?在区间?2,?上单调递增.如果x1?2?x2，且x1?x2?4，则f?x1?f?x2?的值.A恒小于0B恒大于0C可能为0D可正可负.分析：f?x?f?x?4?形似周期函数f?x?
10、f?x?4?，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用x?2代替x，使f?x?f?x?4?变形为f?2?x?f?x?2?.它的特征就是推论3.因此图象关于点?2,0?对称.f?x?在区间?2,?上单调递增，在区间?,2?上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.?2?x2?4?x1，且函数在?2,?上单调递增，所以f?x2?f?4?x1?，又由f?x?f?x?4?，f(4?x1)?f?x1?4?f?x1?4?4?f?x1?，有?f?x1?f?x2?f?x1?f?4?x1?f?x1?f?x1?0.选A.当然，如果已经作出大致图
11、象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.f(x)是偶函数，且f(x)?f(2?x).若f(x)在区间1,2上是减函数，则f(x)(B)A.在区间?2,?1上是增函数，在区间3,4上是减函数B.在区间?2,?1上是增函数，在区间3,4上是减函数C.在区间?2,?1上是减函数，在区间3,4上是增函数D.在区间?2,?1上是减函数，在区间3,4上是增函数分析：由f(x)?f(2?x)可知f(x)图象关于x?1对称，即推论1的应用.又因为f(x)为偶函数图象关于x?0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2，结合f(x)在区间1,2上是减函数，可得如右f(x)草图.故选B2：在R上定义的函数3.定
12、义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x)?0在闭区间?T,T?上的根的个数记为n，则n可能为分析：TTTTf(T)?f(?T)?0，f(?)?f()?f(?T)?f()，2222TTf(?)?f()?0，则n可能为5，选D.22f?x?的图象关于直线x?2和x?4都对称，且当0?x?1时，f?x?x.求f?的值.f?x?的图象关于直线x?2对称，即f?2?x?f?2?x?，4已知函数分析：由推论1可知，同样，f?x?满足f?4?x?f?4?x?，现由上述的定理3知f?x?是以4为周期的函数.?f?f?4?4?f?f?4?f?，同时还知f?x?是偶函数
13、，所以f?f?5f则f?0?，f?1?，f?2?，f?999?中最多有?x?f?398?x?f?2158?x?f?3214?x?，个不同的值.分析：由已知f?x?f?398?x?f?2158?x?f?3214?x?f?x?1056?f?x?1760?f?x?704?f?x?352?.f?x?f?398?x?f?2158?x?f?3214?x?f?x?1056?又有?f?2158?1056?x?f?1102?x?f?1102?x?1056?f?46?x?，于是f(x)有周期352，于是?f?0?,f?1?,?,f?999?能在?f?0?,f?1?,?,f?351?中找到.又f(x)的图像关于直线x?23对称，故这些值可以在?f?23?,f?24?,?,f?351?中找到.又f(x)的图像关于直线x?199对称，故这些值可以在?f?23?,f?24?,?,f?199?中找到.共有177个.选B.f?x?1?x1?3xf1?x?f?f?x?，f2?x?f?f1?x?fn?1?x?f?fn?x?6：已知，则fXX?2?.A.?17B.17C.?35分析：由f?x?1?xx?1?x?1?，知f1?x?，f2?x?f?x，f3?x?f?x?.1?3x3x?1?3x?1?
