《河南省2019年中考数学总复习 第四章 三角形高分突破微专项》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河南省2019年中考数学总复习 第四章 三角形高分突破微专项（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、全等三角形中的两大辅助线技巧突破点1倍长中线倍长中线法:延长三角形一边的中线至一点,使所延长的部分与该中线相等,并连接该点与这条边的一个顶点,得到两个全等的三角形.这种方法主要用于构造全等三角形或证明对应边之间的关系.倍长中线常用辅助线添加方法(倍长中线等中线,等量关系一大片)叙述图示结论基本图形:在ABC中,AD为BC边上的中线.倍长中线:延长AD到点E,使ED=AD,连接BE.ACDEBD;根据三角形三边的关系得到:AD12(AB+AC).倍长中线的变形作法一:M为AB上一点,连接MD并延长到点N,使ND=MD,连接CN;作法二:过点C作CNAB,与过点D的直线交于点N,该直线与AB交于点
2、M.BDMCDN 如图,在ABC中,AD是中线,BAC=BCA,点E在BC的延长线上,CE=AB,连接AE.求证:AE=2AD.思路分析见到中线,试一下倍长中线的辅助线作法,得到相等的线段,再利用三角形全等和等量代换进行证明.自主解答1.如图,在ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是.(第1题)(第2题)2.如图,在ABC中,点E,F分别在AB,AC上,点D是BC边上的中点,DEDF,则BE+CF与EF的大小关系为.3.如图,在ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于点F.求证:AF=EF.4.如图,在ABC中,AD交BC于点D,点E是BC
3、的中点, EFAD交CA的延长线于点F,交AB于点G,已知BG=CF,求证:AD为ABC的角平分线.突破点2旋转图形的旋转是近几年河南中考必考的内容.运用旋转的全等变换,证明线段相等、和差倍分关系以及角相等、和差倍分关系都是近几年中考常见的类型.旋转的基本性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前后的图形全等.旋转的基本图形图形旋转的要点利用旋转作辅助线的基本思路如图,将AOB旋转至AOB,则AOA=BOB.1.找准旋转中的“变”与“不变”;2.找准旋转前后的“对应关系”;3.充分挖掘旋转过程中线段之间的关系;4.找旋转点,得等边、等角;5.证全等或相似
4、;6.利用全等或相似得到边、角关系.1.以等边三角形为背景的旋转60(遇60旋转60);2.以正方形为背景的旋转90(遇90旋转90);3.将分散的条件通过旋转变换集中在一块“形成合力”破解难题(若条件是分散的,则试试看把图形进行平移、旋转、翻折).如图,将AOB旋转至AOB,连接AA,BB,则AOABOB. 如图,在O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,BAD= 60,点C为BD的中点,则AC的长是 .思路分析四边形ABCD是O的内接四边形,ABC+ADC=180,又点C为BD的中点,BC=CD.将ABC绕点C旋转至EDC,则A,D,E三点共线,这样就把分散的条件集中在一块了,旋转变
5、换后的图形是等腰三角形,再利用等腰三角形“三线合一”的性质和锐角三角函数求出AC的值即可.(利用旋转时,一般要满足两个条件:有相等的边,两角之和为180)5.如图,点P为等边三角形ABC内的一点,且点P到ABC三个顶点A,B,C的距离分别为1,2,3,则ABC的面积为.(第5题)(第6题)6.如图,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,点F为CD上一点,BE+DF=EF,则EAF的度数为.7.如图,在ABC中,C=90,点D,E,F分别在边CA,AB,BC上,且四边形CDEF是正方形,已知BE=2.2,EA=4.1,则BFE和AED的面积之和为.8.如图,OA=OD,OAOD,OB=OC,OB
6、OC,经过点O的直线l分别交AB,CD于点E,F.(1)试说明:SOAB=SOCD;(2)若直线l平分CD,求证:OF=12AB.9.如图,点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点,DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F.(1)当MDN绕点D转动时,求证:DE=DF;(2)若AB=2,求四边形DECF的面积.10.如图,等腰三角形ABC绕顶点B逆时针旋转到A1BC1的位置,AB与A1C1相交于点D,AC与A1C1,BC1分别相交于点E,F.(1)求证:BCFBA1D;(2)当C=时,判断四边形A1BCE的形状并说明理由.一线三直角模型1.模型说明一线三直角是一个常见的相似模型,指的是有
7、三个直角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,有些地区称“三垂直模型”,也有称“K形图”或“M形图”.(一线三等角不仅可以是直角,也可以是锐角或钝角.本专题主要研究一线三直角模型)2.识别方法(1)查找图形中已知的直角,顺着这个直角的顶点寻找或者构造模型中的“一线”;(2)构造其他直角,构造的直角的顶点必须在“同一条直线”上, “这条直线”可能在已知角的外部,也可能“穿过”这个角.3.构造一线三直角的基本步骤做题过程中,若出现一直角的顶点在一条直线上的形式,就可以构造两侧的直角三角形,利用全等三角形或相似三角形解决相关问题.综合性题目往往就会把全等和相似的转化作为出题的一种形式.本质就是找角、定
8、线、构相似.一线三直角的基本图形一般结论一线三直角的应用ACDBAE.特殊地,当AB=AC时,ACDBAE.图形中已经存在“一线三直角”,直接应用模型解题;图形中存在“一线两直角”,补上“一直角”构造此模型;图形中只有直线上的一个直角,补上“两直角”构造此模型;图形中只有一个直角,过该直角顶点补上“一线”,再补上“两直角”,构造此模型;对坐标系中在x轴或y轴(也可以是平行于x轴或y轴的直线)上构造“一线三等角”是解决问题的关键.突破点1三角形中运用一线三直角进行相关的运算 如图,在RtABC中,C=90,AEB=135,BE=32,DEBE交AB于点D,若DE=2,则AE的长为.思路分析观察题
9、图,有两个直角:DEB和C,有“一条线”:直线AC,过点D作AC的垂线,即可构造一线三直角模型,然后配合题中的条件用“相似+勾股”进行证明和计算.突破点2四边形中运用一线三直角求线段长 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC边的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内的点F处,连接CF,则CF的长为.思路分析题图中的直角有很多,与CF联系紧密且易于构造一线三直角模型的直角是AFE,过直角顶点F用竖直的线(作矩形ABCD的边AD边垂线),可构造一线三直角模型,再配合题中的条件用“相似+勾股”进行相关计算.突破点3一线三直角在二次函数中的运用 抛物线y=x2-4x+3与坐标轴交于
10、A,B,C三点,点P在抛物线上,PEBC于点E,若PE=2CE,则点P的坐标为.思路分析图形中与点P相关的直角顶点是E,可过点E作x轴或y轴的平行线(也可以是平行于x轴或y轴的直线),构造一线三直角模型,然后利用相关知识进行计算.1.在四边形ABCD中,BAD=ACB=90,AB=AD,AC=4BC,若CD的长为5,则四边形ABCD的面积为.(第1题)(第2题)2.如图,已知ABC=90,AD=BC,CE=BD,AE与CD相交于点M,则AMD=.3.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OAB的一个顶点在原点处,ABO=90,OB=AB,已知点A(2,4),则点B的坐标为.(第3题)(第4题
11、)4.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,23),点B(4,0),点C在第一象限内,若ABC为等边三角形,则点C的坐标为.5.如图,在平面直角坐标系中,把矩形OABC的顶点O放在原点处,把其边OA,OC分别放在x轴的正半轴、y轴的正半轴上,点D在OC边上,把BDC沿直线BD翻折,点C的对应点恰好落在x轴上的点E处,已知B(10,8),则直线BD的解析式为.(第5题)(第6题)6.如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45,则BD的长为.7.在四边形ABCD中,ABC=BAD=90,ACD=45,AB=3,AD=4,则BC的长为.(第7题)(第8题)8.如图,已知
12、抛物线y=-12x2与直线AB交于A(-2,-4),B两点,连接AO,BO,若AOB=90,则点B的坐标为.参考答案高分突破微专项1全等三角形中的两大辅助线技巧例1证明:如图,延长AD至点F,使DF=DA,连接CF.在ABD和FCD中,AD=FD,ADB=FDC,BD=CD,ABDFCD,AB=FC,B=DCF.CE=AB,BAC=BCA,ACE=BAC+B,CF=CE,ACE=BCA+DCF=ACF,在ACF和ACE中,AC=AC,ACF=ACE,CF=CE,ACFACE,AE=AF=2AD.强化训练1.1ADAE,且EC-AC2AD,AB-AC2AD,22AD8,1ADEF如图,延长ED至
13、点P,使DP=DE,连接FP,CP,点D是BC的中点,BD=CD,又EDB=CDP,BDECDP,BE=CP.DEDF,DE=DP,EF=FP.又在CFP中,CP+CF=BE+CFFP,BE+CFEF.3.证明:如图,延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG.AD是BC边上的中线,DC=DB.在ADC和GDB中,AD=DG,ADC=GDB,DC=DB,ADCGDB,CAD=G,BG=AC.BE=AC,BE=BG,BED=G,又BED=AEF,AEF=CAD,AF=EF.4.证明:如图,过点C作CHAB,交FE的延长线于点H,则B=ECH,BGE=H.点E是BC的中点,BE=CE.在BEG和CEH中,B=ECH,BGE=CHE,BE=CE,BEGCEH,BG=CH,又BG=CF,CH=CF,F=H.EFAD,F=CAD,BGE=BAD,又BGE=H,BAD=CAD,AD为ABC的角平分线.例2833如图,将ABC以点C为旋转中心,旋转至EDC,则ABCEDC,AB=ED,AC=EC,ABC=EDC.四边形ABCD是
