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1、1.3.1 二项式定理(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.设S(x1)33(x1)23(x1)1，则S等于()A.(x1)3B.(x2)3C.x3D.(x1)3【解析】S(x1)13x3.【答案】C2.已知7 的展开式的第4项等于5，则x等于()A.B.C.7D.7【解析】T4Cx435，则x.【答案】B3.若对于任意实数x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则a2的值为()A.3B.6C.9D.12【解析】x32(x2)3，a2C26.【答案】B4.使n(nN)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7【解析】Tr1C(3x)nrrC3nrxnr，
2、当Tr1是常数项时，nr0，当r2，n5时成立.【答案】B5.(x22)5的展开式的常数项是()A.3B.2C.2D.3【解析】二项式5展开式的通项为：Tr1C5r(1)rCx2r10(1)r.当2r102，即r4时，有x2Cx2(1)4C(1)45；当2r100，即r5时，有2Cx0(1)52.展开式中的常数项为523，故选D.【答案】D二、填空题6.若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_. 【导学号：62980025】【解析】由题意知，CC，n8.Tr1Cx8rrCx82r，当82r2时，r5，的系数为C56.【答案】567.设二项式6(a0)的展开式中x3的
3、系数为A，常数项为B.若B4A，则a的值是_.【解析】对于Tr1Cx6r(ax)rC(a)rx6r，BC(a)4，AC(a)2.B4A，a0，a2.【答案】28.9192被100除所得的余数为_.【解析】法一：9192(1009)92C10092C100919C1009092C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数.992(101)92C1092C1091C102C101，前91项均能被100整除，后两项和为919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 00091981，故9192被100除可得余数为81.法二：9192(901)92C9092
4、C9091C902C90C.前91项均能被100整除，剩下两项和为929018 281，显然8 281除以100所得余数为81.【答案】81三、解答题9.化简：S12C4C8C(2)nC(nN).【解】将S的表达式改写为：SC(2)C(2)2C(2)3C(2)nC1(2)n(1)n.S(1)n10.在6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项.【解】(1)第3项的二项式系数为C15，又T3C(2)4224Cx，所以第3项的系数为24C240.(2)Tr1C(2)6rr(1)r26rCx3r，令3r2，得r1.所以含x2的项为第2项，且T2192x2.能力提升1.若CxC
5、x2Cxn能被7整除，则x，n的值可能为()A.x4，n3B.x4，n4C.x5，n4D.x6，n5【解析】CxCx2Cxn(1x)n1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合.【答案】C2.已知二项式n的展开式中第4项为常数项，则1(1x)2(1x)3(1x)n中x2项的系数为()A.19B.19 C.20D.20【解析】n的通项公式为Tr1C()nrrCx，由题意知0，得n5，则所求式子中的x2项的系数为CCCC1361020.故选C.【答案】C3.对于二项式n(nN)，有以下四种判断：存在nN，展开式中有常数项；对任意nN，展开式中没有常数项；对任意nN，展开式中没有x的一次项；存在nN，展开式中有x的一次项.其中正确的是_.【解析】二项式n的展开式的通项公式为Tr1Cx4rn，由通项公式可知，当n4r(rN)和n4r1(rN)时，展开式中分别存在常数项和一次项.【答案】与4.求5的展开式的常数项.【解】法一：由二项式定理得55C5C4C3()2C2()3C()4C()5.其中为常数项的有：C4中的第3项：CC2；C2()3中的第2项：CC()3；展开式的最后一项C()5.综上可知，常数项为CC2CC()3C()5.法二：原式5(x)25(x)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x)10的展开式中含x5的项的系数，即C()5，所以所求的常数项为.4
