中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,高等数学A,6.3.1 空间曲线的切线及法平面 6.3.2 曲面的切平面及法线,6.3 多元函数微分的应用,第6章 多元函数微分学,6.3 多元函数微分的应用,,6.3.1 空间曲线的 切线及法平面,切线及法平面的概念,曲线方程为参数方程的情况,习例1-3,曲线为一般式的情况,习例4,6.3.2 曲面的切平面及法线,,一般方程的曲面的切平面及法线,特殊方程的曲面的切平面及法线,求切平面及法线习例5-10,小结,,曲线的切线及法平面曲面的切平面及法线,,一、空间曲线的切线与法平面,复习: 平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,位置.,,,,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,,点击图中任意点动画开始或暂停,,,1. 曲线方程为参数方程的情况,切线方程,,,,此处要求,也是法平面的法向量,,切线的方向向量:,称为曲线的切向量 .,如个别为0, 则理解为分子为 0 .,,不全为0,,,,因此得法平面方程,说明: 若引进向量函数,,, 则 ,处的导向量,,就是该点的切向量.,,,,,,曲线方程为参数方程的求切线方程和法平面方程习例,,切线方程,法平面方程,即,即,解 由于,,,对应的切向量为,,, 故,,解,,解,,2. 曲线为一般式的情况,光滑曲线,当,曲线上一点,, 且有,时, 可表示为,处的切向量为,,,,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,,也可表为,法平面方程,,切线方程,解法1 令,则,即,切向量,,曲线方程为一般方程的求切线方程和法平面方程习例,法平面方程,即,解法2 方程组两边对 x 求导, 得,,曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:,切向量,解得,,,切线方程,即,法平面方程,即,点 M (1,–2, 1) 处的切向量,,解法3,,二、曲面的切平面与法线,切平面的法向量与曲面上任一曲线的切向量垂直.,法线是与切平面垂直的直线.,解.,,解,注意:,切平面上点的竖坐标的增量,(1) 因为曲面在M0处的切平面方程为,,3.求切平面及法线习例,,解,所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,,,,解,切平面方程,法线方程,,解 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切, 故,又点 M 在球面上,,于是有,,,, 因此有,,解,依题意，切平面平行于已知平面，得,所求切点为,切平面方程①,切平面方程②,,解,,解,依题意知切平面的法向量为,又切点满足曲面和平面方程,,1. 空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1) 参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,,内容小结,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2) 一般式情况.,,空间光滑曲面,曲面 在点,法线方程,1) 隐式情况 .,的法向量,切平面方程,2. 曲面的切平面与法线,,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2) 显式情况.,法线的方向余弦,法向量,,,。