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1、1微积分经济类考研基础习题第一章 函数与极限一、填空题1.设 ，则 的定义域是_， =_，2,10(),3xf()fx(0)f_.(1)f2. 的定义域是_，值域是_.2arcos1xy3.若 ，则 _， _.()f()f()fx4.若 ，则 _.23fxx(fx5.设 ，则 _.21()f)f6. _.lim)1nn7. _.124li39nn8.已知 ，则 _， _.25limnabab9. _.20305()()li1xx10. _.0li()(,)xxab11. 如果 时，要无穷小量 与 等价， 应等于_.(1cosx2inaa12.设 ， ，则处处连续的充分必要条件是20()xfab
2、0b2_.b13. ，则 _；若无间断点，则21/0()xefa0lim()xf=_.a14.函数 ，当 _ 时，函数 连续.21()fxAxA()fx15.设 有有限极限值 ，则 =_， _.3214limxa LaL16.已知 ，则 =_， =_.2lixbab二、选择题1.区间 , 表示不等式（ ）.)a（A） （B） （C） （D） xxaaxax2.若 ,则 =（ ）.3()1t3()t（A） （B） （C） （D）662t9632tt3.函数 是（ ）.2log()ayx（A）偶函数 （B）奇函数 （C）非奇非偶函数 （D）既是奇函数又是偶函数4.函数 与其反函数 的图形对称于直线
3、（ ）.)f1()yfx（A） （B） （C） （D）0y0xyx5.函数 的反函数是（ ）.12x（A） （B） lgylog2xy（C） （D）2lox1l()6.函数 是周期函数，它的最小正周期是（ ）.sincy3（A） （B） （C） （D）2247.若数列x 有极限 ,则在 的 邻域之外，数列中的点（ ）.na（A）必不存在 （B）至多只有有限多个（C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列 在（ , ）邻域内有无穷多个数列的点，则（ ） ， （其中nx为某一取定的正数）.（A）数列 必有极限，但不一定等于 （B）数列 极限存在且一定等于n anxa（C）
4、数列 的极限不一定存在 （D）数列 一定不存在极限x9.数列 0， ， ， ， ，（ ）.132456（A）以 0 为极限 （B）以 1 为极限 （C）以 为极限 （D）不存在极限2n10.极限定义中 与 的关系是（ ）.（A）先给定 后唯一确定 （B）先确定 后确定 ，但 的值不唯一（C）先确定 后给定 （D） 与 无关11.任意给定 ，总存在着 ,当 时， ,则（ ）.0M0Xx()fxM（A） （B）lim()xflim()xf（C） （D） 12.若函数 在某点 极限存在，则（ ）.()fx0（A） 在 的函数值必存在且等于极限值0（B） 在 的函数值必存在，但不一定等于极限值()fx
5、（C） 在 的函数值可以不存在 （D）如果 存在则必等于极限值0 0()fx13.如果 与 存在，则（ ）.lim()xf0li()xf（A） 存在且0 0fx4（B） 存在但不一定有0lim()xf00lim()xfx（C） 不一定存在 （D） 一定不存在0li()xf14.无穷小量是（ ）.（A）比 0 稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数（C）以 0 为极限的一个变量 （D）0 数15.无穷大量与有界量的关系是（ ）.（A）无穷大量可能是有界量 （B）无穷大量一定不是有界量（C）有界量可能是无穷大量 （D）不是有界量就一定是无穷大量16.指出下列函数中当 时（ ）为无穷大量.0x（A
6、） （B） （C） （D）21xsinecxe1xe17.若 ，则（ ）.0lim()xf（A）当 为任意函数时，才有 成立g0lim()xfgx（B）仅当 时，才有 成立0li()x（C）当 为有界时，有 成立0li()xf（D）仅当 为常数时，才能使 成立()g()0xg18.设 及 都不存在，则（ ）.0limxf0li()x（A） 及 一定都不存在()0li()xf（B） 及 一定都存在0lixfggx（C） 及 中恰有一个存在，而另一个不存在()0li()xf（D） 及 有可能都存在0limxfx19. （ ）.221()nn5（A） 2221limlilim00nnn （B） （C
7、） （D）极限不存在2(1)1lin20. 的值为（ ）.20slimx（A）1 （B） （C）不存在 （D）021. （ ）.lisnx（A） （B）不存在 （C）1 （D）022. （ ）.21i()lmxx（A） （B） （C）0 （D）3132323. （ ）.2li()xx（A） （B） （C）0 （D）e 1224.无穷多个无穷小量之和（ ）.（A）必是无穷小量 （B）必是无穷大量（C）必是有界量 （D）是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量25.两个无穷小量 与 之积 仍是无穷小量，且与 或 相比（ ）.（A）是高阶无穷小 （B）是同阶无穷小（C）可能是高阶无穷小，也可能是同阶无
8、穷小 （D）与阶数较高的那个同阶26.设 ，要使 在 处连续，则 （ ）.1sin0()3xfa()fx,)a（A）0 （B）1（C）1/3 （D）327.点 是函数 的（ ）.x1()fxx6（A）连续点 （B）第一类非可去间断点（C）可去间断点 （D）第二类间断点28.方程 至少有一个根的区间是（ ）.410x（A） （B） （C） （D） (,/2)(/2,)(2,3)(1,2)29.设 ，则 是函数 的（ ）.()0xfx0()fx（A）可去间断点 （B）无穷间断点（C）连续点 （D）跳跃间断点30. ， 如 果 在 处 连 续 ， 那 么 （ 10()xxfk()fx0k） .（A）
9、0 （B）2（C）1/2 （D）1三、解答题1.若 ,证明： 25()fttt1()ft2.根据数列极限的定义证明：（1） ； （2） .312limn2lim1na3.根据函数极限的定义证明：（1） ； （2） .31lim2xsinlm0x74.求当 时 ， 的左、右极限，并说明它们在 时的极0x()xf()x0x限是否存在.5.设 ，求 .2213nnx limnx6.求下列极限:（1） ； （2） ；21limtte/4sin2limco()xx（3） ； （4） ；154lixxsinlxa（5） ； （6） ；22lim()xx2cot0lim(13tan)xx（7） ； （8）
10、.01lixe123li()xx87. .1/lim(39)xx8. .21/0li(cos)xx9.求 .0limn(1)x10.求下列函数的间断点，并判断间断点的类型：（1） ； （2） .211()0xf()tanxf11.设 为连续函数，试确定 .21()nxabxf,ab四、证明题1 方程 ，其中 ，至少有一个正根，并且它不超过sinxab0,ab.ab2设 在闭区间 上连续， ，则在 上至少存在一点()fx0,2a(0)2fa0,9，使 .x()fxa3设 在闭区间 上连续，且 .求证：在 闭存在点 ，()fx,abacdb,ab使 .)(mcndnf4若 在闭区间 上连续， ，则
11、在 上必()fx,ab12nxxb 1,2x有 ，使 .12()()nfxff五、附加题1.选择题（1）设 和 在 内有定义， 为连续函数，且 ，()fx(,)()fx()0fx有间断点，则（ ）.()（A） 必有间断点 （B） 必有间断点()fx2()x（C） 必有间断点 （D） 必有间断点()f（2）设函数 ，讨论函数 的间断点，其结论为（ ）.1()limnnxfxx（A）不存在间断点 （B）存在间断点 1（C）存在间断点 （D）存在间断点02.填空题（1）设 ，则 .2li8xxa10（2） .203sincos(1/)lm(1)lxx（3） .222li )n nn（4） .sl(13/)sil(1/xxx（5）设函数 ，则0,falim(1)2()nffn.3.计算题（1）求极限 .241limsinxx（2）设 ，试求 的值.nli192(),4.证明题（1）设函数 在 上连续，且()fx,ab(),().fafb试证：在 内至少有一点 ，使得 .,（2）证明方程： 在 ， 内有唯一的根，3120aaxx12(,)3(,)其中 均为大于 0 的常数，且 .123,a123115.利用极限存在准则证明：（1） ；22211lim( )xnn（2）数列 ， ， ，的极限存在.22
