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1、,第十四章,压 杆 稳 定,工程实例,压杆的稳定性试验,（1）稳定性概念 （2）细长压杆临界压力的计算公式欧拉公式 （3）稳定性强度较核,稳定性、细长压杆、临界压力、欧拉公式、稳定性安全系数、临界应力总图、柔度、长细比,14-1 压杆稳定性的基本概念,目录,12-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式,14-3 细长压杆的临界压力 欧拉公式,14-4 压杆的临界应力及临界应力总图,14-5 压杆的稳定性计算,微小扰动就使小球远离原来的平衡位置,微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置。,14-1 压杆稳定性的基本概念,一、稳定与失稳,1.压杆稳定性：压杆维持其原直线平衡状
2、态的的能力；,2.压杆失稳：压杆丧失其原直线平衡状态，不能稳定地工作。,3.压杆失稳原因：,杆轴线本身不直(初曲率)； 加载偏心； 压杆材质不均匀； 外界干扰力。,二、中心受压直杆稳定性分析,F,干扰力去除，恢复直线,a)直线稳态,干扰力去除，保持微弯,b)微弯平衡,1.临界状态：由稳定平衡向微弯平衡(不稳平衡)过渡的状态；,2.临界载荷Fcr：描述压杆的稳定能力，压杆临界状态所受到 的轴向压力。,目录,一、两端铰支压杆的临界力,1.分析思路：Pcr临界状态(微弯)弯曲变形挠曲线微分方 程。,2.推导：,14-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式,失稳模式如图,目录,14-3 细长压杆的临界压
3、力 欧拉公式,一、两端铰支细长压杆的临界压力,即,令,1、推导,特征方程为,有两个共轭复根,附：求二阶常系数齐次微分方程的通解,特征方程为,其最小非零解,两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式,2、注意： （1）弯矩以最终平衡位置 （2）I 应为压杆横截面的最小惯性矩,思考题,y,F,注意判断在哪个平面内失稳？,二、 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式,1、欧拉公式的统一形式,mL 相当长度 u 长度系数,表141.不同约束细长压杆的临界压力,例14-1、 一端固定，另一端自由的细长压杆如图所示。试导出其临界力的欧拉公式。,三、例题：,相当于2L长两端铰支压杆的临界力,例14-2 导出一端固定
4、、另一端铰支压杆临界力的 欧拉公式。,失稳模式如图,A端QA、MA及B端QB不为零。,相当于0.7L长两端铰支压杆的临界力,失稳模式如图,两端M均不为零。,例14-3 试导出两端固定压杆的欧拉公式。,相当于0.5L长两端铰支压杆的临界力,例144根压杆的临界压力，并比较大小。,解：三根压杆临界力分别为：,例145：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设F1和F2 分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则 (A) F1=F2 (B) F1F2 (D) 不能断定F1和F2的关系,例145：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Fcr是原来的多少倍？,例146：圆截面
5、的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的。,例147：三种不同截面形状的细长压杆如图所示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主惯性轴转动。,例148、杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。,例149：图示结构，、两 杆截面和材料相同，为细长压杆 。确定使载荷 P 为最大值时的 角（设0/2）。,目录,14-4 压杆的临界应力及临界应力总图,一、欧拉临界应力公式及使用范围,1.临界应力：临界压力除以压杆横截面面积得到的
6、压应力， 称为临界应力，用scr表示；,柔度(细长比)：,2.欧拉公式应用范围：,线弹性状态下的大柔度杆：scrsp，即,说明： 在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程，,在推导该方程时, 应用了胡克定律。因此，欧拉公式也 只有在满足胡克定律时才能适用。,对于A3钢，E=200GPa，sp=200MPa：,用柔度表示的临界压力：,3.注意,llp细长杆(大柔度杆)，,当压杆的长细比p时，欧拉公式已不适用。在工程上，一般采用经验公式。在我国的设计手册和规范中给出的是直线公式和抛物线公式。,二、中柔度杆临界应力的经验公式,1.ssscrsp时采用经验公式：,直线公式：,1)scrss， ，得
7、到：,2) lpll0中粗杆(中柔度杆)；,3)对于A3钢：,4）对于式中的系数a,b，下表给出了一些常用材料的数值。,抛物线公式：,a 1和b 1是与材料有关的常数，可从有关的手册中查到。,2、cr=S时，不存在失稳问题，应考虑强度问题强度破 坏，采用强度公式：,三、临界应力总图,例1410：非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比实际；横截面上的正应力有可能。,大，危险,超过比例极限,解：,例1412：图示圆截面压杆d=40mm，s=235MPa。求可以用经验公式cr=304-1.12 (MPa)计算临界应力时的最小杆长。,目录,14-5 压杆的稳定性计算,一、稳定性条件：,式中 -
8、压杆所受最大工作载荷 -压杆的临界压力 -压杆的规定稳定安全系数,稳定性条件也可以表示成：,式中 为压杆实际的工作稳定安全系数。,例1413 ：托架，AB杆是圆管，外径D=50mm，两端为球铰，材料为A3钢，E=206GPa,p=100。若规定nst=3,试确定许可荷载F。,解：一、分析受力,取CBD横梁研究,二、计算并求临界荷载,三、根据稳定条件求许可荷载,由：,从而求得：,例1414：图示结构，CF为铸铁圆杆，直径d1=10cm，c=120MPa , E=120GPa。BE为A3钢圆杆, 直径d2=5cm，=160MPa, E=200GPa, 如横梁视为刚性，求许可荷载F。,解：1、结构为
9、一次超静定求杆内力,F,由：,代入第一式后求解得：,2、求杆许可荷载：,（1）以BE杆为标准：,2）按压杆FC计算：,例14-15 确定图示连杆的许用压力Fcr。已知连杆横截面面积A=720mm2，惯性矩Iz=6.5104mm4，Iy=3.8104mm4，p=240MPa，E=2.1105MPa。连杆用硅钢制成，稳定安全系数nst=2.5。,若在x-y面内失稳，m=1，柔度为：,解：(1)失稳形式判断：,若在x-z平面内失稳，m=0.5，柔度为：,所以连杆将在xy平面内失稳，其许用压力应由lz决定。,(2)确定许用压力：,由表9.2查得硅钢：a=578MPa，b=3.744MPa，ss=353MPa，计算有关的lp和l0为：,可见连杆为中柔度杆。其临界载荷为：,由此得连杆的许用压力为：,(3)讨论：在此连杆中：Iz=73.7，Iy=39.9，两者相差较大。最理想的设计是Iy= Iz，以达到材尽其用的目的。,
