第4章静态场中的边值问题

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1、4.1 问题的分类4.2 惟一性定理4.3 直角坐标中的分离变量法4.5 镜像法,第4章 静态场中的边值问题,解边界值问题的方法： 1、理论计算方法 解析法 近似计算法 数值计算法 图解法 2、场的实验研究方法： 直接测量法 电模拟法,4.1 问题的分类,一、分布型问题(1) 已知场源分布，求解电场或磁场。(2) 已知电场（或电位）、磁场分布，反推场源。二、边值型问题边值型问题究竟是什么？边值型问题都有哪些类型？怎样保证边值型问题有且仅有惟一解？ （惟一性定理 ）,静态场边值型问题：已知场量（或其位函数）在场域边界上的值（含法向导数），求解场域内部任一点的场量。定解条件=泛定方程+边界条件+初

2、始条件。衔接条件：在场域内，媒质参数必须是已知的，但允许它们突变（即存在不同媒质的分界面）或渐变（是空间坐标的函数）。 在不同媒质分界面的两侧，场量（或其位函数）应满足边值关系，在偏微分方程定解问题中常被称为衔接条件。,静态场边值问题解满足3个条件：(1) 对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面上的点）泛定方程成立；(2) 在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边值关系（衔接条件）成立；(3) 对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合给定的边界条件。,边值型问题的分类方法 （以电位函数的泊松方程为例）第一类边值问题的特征：已知全部边界上任一点的电位。为狄里赫利问题（Dirichlet）。

3、第二类边值问题的特征：已知全部边界上任一点的电位的法向导数。称为诺埃曼问题(Neumann)。第三类边值问题的特征是：已知部分边界上任一点的电位和另一部分边界上任一点的电位的法向导数。称为混合边值问题(Robbin)。,4.2 惟一性定理,惟一性定理：在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解唯一 【反证法】 假如存在两个满足相同边界条件的不同解 和 令 在场域 内，U满足拉普拉斯方程 在边界上，要么 （第一类边值问题），要么 （第二类边值问题）。 令格林第一恒等式（1-157）中的 ，即,因为 ，并且U（或U的法向导数）沿 处处等于0，上式简化为 即U梯度等于0。故在场域内，U=常数。对

4、于第一类边值型问题，电位不可跃变，故在场域内，U=0，从而 。故对于第一类边值问题，电位的解惟一对于第二类边值型问题，U未必是0，可以是任一常数，但对于电场强度和电位移矢量来说，解仍然是惟一的，因为常数的梯度恒等于0。,说明： 第一、二、三类边值问题是适定的 因为它们对边界条件提出的要求既是充分的也是必要的。 求解时先判断问题的边界条件是否足够，当满足必要条件时，则可断定解是唯一的。 用不同方法得到的形式上不同的解是等价的。 定理说明：只要能够找一个满足边界条件的位函数，且这个位函数又满足拉普拉斯方程，则这就是所求的解。,4.3 直角坐标中的分离变量法,分离变量法：通过偏微分方程求解边值问题。

5、基本思想： 1.要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合，或者至少分段地与坐标面相合； 2.在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，其中的每个函数分别仅是一个坐标的函数。 3.通过分离变量将偏微分方程化为常微分方程求解。, 二维问题的分离变量过程：若边界面形状适合用直角坐标表示，则在直角坐标系中求解，以二维的拉普拉斯方程为例，求解电位函数，设 ，电位函数满足 （4-1）待求的电位函数用二个函数的乘积表示为 （4-2） 将式（4-2）代入式（4-1），得,用 除上式，得 （4-3）上式成立的唯一条件是二项中每项都是常数，故有 （4-4） （4-5） 为分离常数，是待定的常数，须满足

6、 （4-6 ）,1.当 时 方程（4-4）和(4-5)的解为 方程（4-1）的解为 (4-7)2.当 , 时, 方程（4-5）和(4-6)的解为 (4-8) (4-9a） 或,所以 (4-10a) 或 (4-10b)3.当 , 时， 同理可得 （4-11a） （4-11b）综上所述： a：当 时，偏微分方程（4-1）的通解 为,(4-12a） 或 （4-12b）b.当 时，偏微分方程（4-1）的通解为 （4-13a）,或 （4-13b）拉普拉斯方程的解： 然后根据所给定的边界条件定出满足所有边界条件的具体问题的解 （包括待定常数和分离常数）。,4.5 镜像法, 镜像法的基本思想： 1.电场区域

7、外某个位置上，有一假想镜像电荷。 2.电荷的引入不改变所求电场区域的场方程，镜像电荷产生的电场与导体面(或介质面)上的感应电荷(或极化电荷)产生的电场等效。 3.镜像电荷代替导体面(或介质面)上的感应电荷(或极化电荷)后： 首先所求电场区域内的场方程不变， 其次给定的边界条件仍满足，,由静电场的惟一性定理：用镜像电荷代替后所解得 的电场必是唯一正确的解。 镜像法的实质： 将静电场的边值问题转化为无界空间中计算电荷分布的电场问题。在区域外的假象电荷（或电流）称为镜像电荷（或电流），大多是一些点电荷或线电荷（二维平面场情况）。镜像法往往比分离变量法简单，容易写出所求问题的解，但它只能用于一些特殊的

8、边界情况。,应用镜像法求解的关键： 如何确定像电荷 镜像电荷的确定应应遵循以下两条原则： （根据唯一性定理）(1) 所有的镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中。(2) 镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小由满足场域边界上的边界条件来确定。,一、 静电场中的镜像法1. 平面边界的镜像法【例4-6】 设在无限大导体平面( )附近有一点电荷，与平面距离为 ，导体平面是等位面，假设其电位为零，如图4-6所示。求上半空间中的电场。 （a） （b） 图4-6 平面边界的镜像法,【解】 1.在 的上半空间内，除点电荷外，电位满足拉普拉斯方程； 2.由于导体接地，所以在 处， 。 3.设导体平面不存在，在 平

9、面与点电荷对称地放置一点电荷(相反电荷)，则平面仍为零电位面。 4.在 的上半空间内，图4-6（a）和图4-6（b）具有相同的电荷分布。根据唯一性定理，图4-6（a）中上半空间的电位分布与图4-6（b）的上半空间电位分布相同。可用和其像电荷构成的系统来代替原来的边值问题。上半空间内任意点的电位为,（4-66）由（4-66）式，可求出平面导体上的感应电荷密度为 （4-67）导体平面上总的感应电荷为 （4-68）可见：导体平面上总的感应电荷恰好等于所设置的镜像电荷。,【例4-7】 如图4-7所示， 为无限大接地的导电（ 平面（电壁），在 处有一无限长均匀带电的细直导线，导线与y轴平行且经过直角坐标

10、（0，0，h）点，求上半空间（ ）场的电位函数。 图4-7 线电荷的平面镜像,【解】 电壁的作用可以等效为：镜像位置 处的镜像线电荷（线电荷密度不变，但极性相反）。设细直导线的电荷密度为 ，则镜像线电荷密度为 。这时，带电体系在空间的电位为 式中 不能选为无穷远点。同样,式中，所以,2. 角形区域的镜像法 图4-9所示为相交成直角的两个导体平面AOB附近的一个点电荷的情形，也可以用镜像法求解。 图4-9 点电荷对角形区域的镜像,q在OA面的镜像为在 点的-q，又q在OB面的镜像为在 点的-q，这样并不能使OA和OB平面成为等位面。若在 点处再设置一个电荷q，则一个原点电荷和三个像电荷共同的作用将OA和OB保持相等电位能满足原来的边界条件，故所求区域内任一点的电位函数不仅相交成直角的两个导体平面间的场可用镜像法求解，所有相互成 的两块半无限大接地导体平面间的场都可用镜像法求解，像电荷个数为 。例如，两块半无限大接地导体平面角域内点电荷的像电荷，如图4-10所示。,