排列组合期末复习(教师版)

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1、排列组合常见题型及解法1 重复排列“求幂运算”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则通过“住店法”可顺利解题。例 1 8 名同学争夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有（ ）解析 冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军。把 8 名学生看作 8 家“店” ，3 项冠军看作 3 个“客” ，他们都可住进任意一家“店” ，每个客有 8 种可能，因此共有 种不同的结果。32. 特殊元素（位置）用优先法:把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。对于这类问题一般采取特殊元素（位置）

2、优先安排的方法。例 1. 6 人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？解法 1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有 种站法；第二步再让其余的 5 人站在其他 5 个位置上，有 种站法，故站法有：480（种）解法 2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的 5 个人中任选两人站在左右两端，有 种；第二步再让剩余的 4 个人（含甲）站在中间 4 个位置，有 种，故站法共有： （种）例 2（2000 年全国高考题）乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，

3、其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_种（用数字作答） 。解析3 名主力的位置确定在一、三、五位中选择，将他们优先安排，有 种可能；然后从其余 7 名队员选 23A名安排在第二、四位置，有 种排法。因此结果为 =252 种。27A273A例 3 5 个“1”与 2 个“2”可以组成多少个不同的数列？解析按一定次序排列的一列数叫做数列。由于 7 个位置不同，故只要优先选两个位置安排好“2” ，剩下的位置填“1” （也可先填“1”再填“2” ） 。因此，一共可以组成 =21 个不同的数列。27C3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑

4、法”“捆绑”为一个“大元素：与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。例 1.（1996 年上海高考题）有 8 本不同的书，其中数学书 3 本，外文书 2 本，其他书 3 本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有_种（结果用数字表示） 。解析将数学书与外文书分别捆在一起与其它 3 本书一起排，有 种排法，再将 3 本数学书之间交换有 种，5A3A2 本外文书之间交换有 种，故共有 =1440 种排法。2A235A评述这里需要说明的是，有一类问题是两个已知元素之间有固定间隔时，也用“捆绑法”解决。如：7 个人排成一排，其中甲乙两人之间有且只有一

5、人，问有多少种不同的排法？可将甲乙两人和中间所插一人“捆绑”在一起做“大元素” ，但甲乙两人位置可对调，且中间一人可从其余 5 人中任取，有 种12051AC排法。4. 相离问题用插空法:元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例. 7 人排成一排，甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法？解：先将其余 4 人排成一排，有 种，再往 4 人之间及两端的 5 个空位中让甲、乙、丙插入，有种，所以排法共有： （种）5. 定序(顺序一定)问题用除法:对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。例. 由数字 0、1、2、3、4、5 组成

6、没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有 种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有： （个）6. 多排问题用直排法:对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。例 5. 9 个人坐成三排，第一排 2 人，第二排 3 人，第三排 4 人，则不同的坐法共有多少种？解：9 个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。7. 至少问题正难则反“排除法”:有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，可以采用转化思想从问题的反面入手考虑，然后去掉不符合条件的

7、方法种数往往会取得意想不到的效果。在应用此法时要注意做到不重不漏。例 1. 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点，取其中 4 个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种解：从 10 个点中任取 4 个点有 种取法，其中 4 点共面的情况有三类。第一类，取出的 4 个点位于四面体的同一个面内，有 种；第二类，取任一条棱上的 3 个点及该棱对棱的中点，这 4 点共面，有 6 种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4 个点共面，有 3 种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：（

8、种）。8错位排列问题:错位排列问题是一个古老的问题，最先由贝努利（Bernoulli）提出，其通常提法是：n 个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少？所以称之为“错位”问题。例 1五个编号为 1、2、3、4、5 的小球放进 5 个编号为 1、2、3、4、5 的小盒里面，全错位排列（即 1 不放1，2 不放 2，3 不放 3，4 不放 4，5 不放 5，也就是说 5 个全部放错）一共有多少种放法？【华图解析】直接求 5 个小球的全错位排列不容易，我们先从简单的开始。小球数/小盒数 全错位排列1 02 1（即 2、1）3 2（即 3、1、2 和 2、3、1）4 95 446 265当小球数/小盒

9、数为 13 时，比较简单，而当为 46 时，略显复杂，考生们只需要记下这几个数字即可（其实 0，1 ，2，9，44，265 是一个有规律的数字推理题，9=(1+2)*3；44=(2+9)*4；265=(44+9)*5；(44+265)*6=1854）由上述分析可得，5 个小球的全错位排列为 44 种。例 2五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？【华图解析】做此类题目时通常分为两步：第一步，从五个瓶子中选出三个，共有 种选法；第二步，将三个瓶子全部贴错，根据上表有 2 种贴法。则恰好贴错三个瓶子的情况有 种。接下来，考生们再想这样一个问题：五个瓶子中，恰好贴错三个是不

10、是就是恰好贴对两个呢？答案是肯定的，是。那么能不能这样考虑呢？第一步，从五个瓶子中选出二个瓶子，共有 种选法；第二步，将两个瓶子全部贴对，只有 1 种方法，那么恰好贴对两个瓶子的方法有 种。 问题出来了，为什么从贴错的角度考虑是 20 种贴法，而从贴对的角度考虑是 10 种贴法呢?答案是，后者的解题过程是错误的，这种考虑只涉及到两个瓶子而没有考虑其他三个瓶子的标签正确与否，给瓶子贴标签的过程是不完整的，只能保证至少有两个瓶子的标签是正确的，而不能保证恰有两个瓶子的标签是正确的。所以华图公务员考试辅导专家王永恒老师建议各位考生在处理错位排列问题时，无论问恰好贴错还是问恰好贴对，都要从贴错的角度去

11、考虑，这样处理问题简单且不易出错。9. “隔板法”:常用于解决整数分解型排列、组合的问题。例:为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有 4 个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添 2 个小品节目，则不同的排列方法有多少种？分析：记两个小品节目分别为 A、B。先排 A 节目。根据 A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把 4 个球分成两堆，由例 26 知有 种方法。这一步完成后就有 5 个节目了。再考虑需加入的 B 节目前后的节目数，同上15C理知有 种方法。故由乘法原理知，共有 种方法。16C15630C【小结】对本题所需插入的两个隔板采取先后依次

12、插入的方法，使问题得到巧妙解决。例. 有 10 个三好学生名额，分配到 6 个班，每班至少 1 个名额，共有多少种不同的分配方案？解：6 个班，可用 5 个隔板，将 10 个名额并排成一排，名额之间有 9 个空，将 5 个隔板插入 9 个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有： （种）10分球入盒问题例 32：将 5 个小球放到 3 个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？ 小球不同，盒子不同，盒子不空解：将小球分成 3 份，每份 1，1，3 或 1，2，2。再放在 3 个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有31255C(+)A小球不同，盒子不同，盒子可空 解： 种5小球不同，盒子相同，

13、盒子不空解：只要将 5 个不同小球分成 3 份，分法为：1，1，3；1，2，2。共有 =25 种31253C+A小球不同，盒子相同，盒子可空本题即是将 5 个不同小球分成 1 份，2 份，3 份的问题。共有 种3125453()()41C小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法） 。0 00 00 ，有 种方法24C小球相同，盒子不同，盒子可空解一：把 5 个小球及插入的 2 个隔板都设为小球（7 个球） 。7 个球中任选两个变为隔板（可以相邻） 。那么 2 块隔板分成 3 份的小球数对应于 相应的 3 个不同盒子。故有 =212解：分步插板法。小球相同，盒子相同，盒子不空解：5 个相同的小球

14、分成 3 份即可，有 3，1，1；2，2，1。 共 2 种小球相同，盒子相同，盒子可空解：只要将将 5 个相同小球分成 1 份，2 份，3 份即可。分法如下：5，0，0； 4，1，0；3，2，0； 3，1，1； 2，2，1。例、有 4 个不同的小球，放入 4 个不同的盒子内，球全部放入盒子内（1）共有几种放法？（答： ）（2）恰有 1 个空盒，有几种放法？（答： ）2341CA（3）恰有 1 个盒子内有 2 个球，有几种放法？（答： ）同 上 2341（4）恰有 2 个盒子不放球，有几种放法？（答： ）32448CA11分组问题与分配问题分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理例。有

15、 9 个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数 2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？分析：（1）此题属于分组问题：先取 3 个为第一组，有 种分法，再取 3 个不第二组，有 种分法，剩下39C36C3 个为第三组，有 种分法，由于三组之间没有顺序，故有 种分法。 （2）同（1） ，共有 种分法，3C63A23497因三组个数各不相同，故不必再除以 。3A练习：12 个学生平均分成 3 组，参加制作航空模型活动，3 个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？分配问题： 定额分配，组合处理； 随机分配，先组后排。例。有 9 本不同的书：（1）分给甲 2 本，乙 3 本，丙 4 本；（2）分给三个人，分别得 2 本，3 本，4 本。上述问题各有多少种不同的分法？（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有 种；再让乙选，有 种；剩下的给丙，有 种，共有 种29C37C4C23497不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将 9 本书分成 2 本，3 本，4 本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有种不同的分法。3497.CA【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列概率、随机事件的概率例 1 某商业银行为储户提供的密码有 0，1，2，9 中的 6 个数字