《2011-2012第一学期《数学建模》选修课试题卷及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011-2012第一学期《数学建模》选修课试题卷及答案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2011-2012 第一学期数学建模选修课试题卷第 1 页 共 9 页一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分 5 分，共 15 分)1模型模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构造成的原型替代物。如地图、苯分子图.2数学模型由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型.如概率的功利化定义.3抽象模型通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型
2、称之谓思维模型.如汽车司机对方向盘的操作.二、简答题（每小题满分 8 分，共 24 分）1模型的分类按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类.形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。2数学建模的基本步骤1）建模准备：确立建模课题的过程；2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻
3、划实际问题的数学模型.；4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。 ；6）模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用.3数学模型的作用数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、
4、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等第 2 页 共 9 页众多方面发挥着特殊的重要作用。数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。数学模型还物化于各种高新科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现的。3、解答题（满分 20 分）
5、B 题 (7n+1, 7n+3)国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持花环组成大型图案方阵，方阵前排距观礼台 120 米,方阵纵列 95 人，每列长度 192 米，试问第一、二两排间距多大能够达到满意的观礼效果？解：可以认为从观礼位置看到的纵列上每个花的部分是一样的。设观礼者居高 a 米，从观礼位置看到的纵列上每个花的部分高度为 b 米。依题意，每列从第一个人到最后一个人（第95人）有94个间空，列长192米，则每列相邻二人平均间距约2米。为简单起见，不妨设位于192米长的队列中点前后的两人间隔是2米，则设第一、二排间距为 x 米，则于是， （米）第 3 页 共 9 页D 题 (7n+3, 7
6、n+4)1997 年 11 月 8 日电视正在播放长江三峡工程大江截流的实况，截流从 8:55开始,当时龙口的水面宽 40 米，水深 60 米。11:50 时，播音员报告水面宽为34.4 米，到 13:00 时，播音员又报告水面宽为 31 米。这时，电视机旁的某位同学说，现在可以估算下午几点合龙。从 8:55 到 11:50，进展的速度每小时宽度减少 1.9 米，从 11:50 到 13:00，进展的速度每小时宽度减少 2.9，该同学认为回填速度是越来越快的，近似于每小时速度加快 1 米。从下午 1 点起，大约需要 5个多小时，即下午 6 点钟左右能合龙。因此，该同学上街到书店去买有关三峡工程
7、介绍和数学建模方面的书籍，但当他坐车返回时，突然从广播里听到了大江截流成功的消息，该同学非常后悔没有看到大江截流成功时的实况，这时他忽然反应过来，赶快看了看手表，此时正好是下午 3 点 30 分。请你根据上面的数据，建立一个合理的数学模型进行计算，使你的计算结果更切合实际；并帮助该同学分析他出错的原因，并对该同学应提出那些合理化的建议？解：（1）假设化简：为简便计，回填体积可用龙口水流的截面面积代替。假设截面为等腰三角形，那么回填的面积 到 11：50 经 175min 回填后，龙口宽为34.3 。设此时水流截面与原截面相似，则此时的水深 满足 故 =51.6（ ） ，此时尚待回填的面积： 回
8、填平均速度为： 。到 13：00 尚待回填的面积：。从11：50 到 13：00 回填的速度为： 比以前的速度加快了。在回填过程中，回填速度是越来越快的。（2）建模与求解：模型一：假设回填速度是等比加速的，加快的比为 ，那么：下午1：002：00 回填面积为 143 1.336=191.048，2：003：00 回填面积为 143 =255.24。此时，待回填面积 720.75（191.048+255.24）=274.462，需要 便能合龙。因此，自下午 1 点开始，在需 2.8 小时，即在下午 3 点 48 分即可合龙。模型二：假设回填速度 与水深 成反比，因为水深与待填面积 S 的关系是
9、，所以回填的速度 成反比，即 ，k 为常数，k 值可按 12：0013：00 的 v 和 s的值求出。那时下午：1：002：00 回填速度为 3：004：00 回填的速度为故回第 4 页 共 9 页填面积为 296.33 。所以到下午 4：00， 待填面积仅为 可认为已经合龙；也就是说，按这一模型估计，下午 4 点龙口可合龙。比较模型 1，2 可知模型 1 的结果更接近于实际。说明建模的合理性有以下两个评价点：（1）回填速度应以每小时多少立方米填料计算；这样，能否建立合理的回填速度计算模型便为第一评价要求点。（2）注意到回填的速度是在逐渐的加快；水流截面越慢，水越深，回填时填料被冲走的就越多，
10、相应的的进展速度就越慢，反之就越快。在模型中对回填速度越来越快这一点如何作出较合理的假设，这是第二个评价要点。四、综合题（41 分）I. 养鱼问题(6n+2, 6n+4, 6n+5)我国为支持农村经济发展, 免费提某种鱼苗用以支持某地区养殖业的发展。设某地区有一池塘，其水面面积 100100 平方米，根据当地环境测出每平方米养鱼不超过 1 公斤，每公斤鱼苗大约有 500 条，鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼自重成正比，360 天可长成成鱼，其重量为 2 公斤，每公斤鱼每天需要饲料0.005 公斤,给鱼池内只投放鱼苗，池内鱼的繁殖与死亡均可忽略不计，市场上鱼饲料价格 0.2 元/公斤,此种鱼的销
11、售价格为：每条鱼重量（公斤） 0.2-0.75 0.75-1.5 1.5-2 0.2每公斤的售价（元） 6 8 10 0请你为一承包户设计一下最优方案. 1. 此承包护承包期为一年；2.此承包护承包期为三年；此承包护承包期为三十年.对养鱼问题数学建模摘要：本文据题意再结合现实生活中的实际情况，忽略部分次要因素，建立解决养鱼问题的数学模型。从简单的侧边描述和设计了基本的养育模型：模型： 基本养殖模型，一年卖一次，投放一定数量的鱼让鱼长成第 5 页 共 9 页成鱼；此模型都从某方面反映了养鱼问题。由于养鱼问题的复杂性、多变性，我们忽略了部分养鱼的因素，并应用线性规划和动态规划模型予以解决我们的养鱼
12、问题。关键词：养鱼模型 线性规划 最大利润一、问题提出设某地有一池塘，其水面面积约为 100100 ，用来养殖某种鱼类。在如下2m的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。 鱼的存活空间为 1kg / ；2m 每 1kg 鱼每天需要的饲料为 0.005kg，市场上鱼饲料的价格为 0.2 元/kg； 鱼苗的价格忽略不计，每 1kg 鱼苗大约有 500 条鱼； 鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，360 天长为成鱼，成鱼的重量为 2kg；池内鱼的繁殖与死亡均忽略；若 q 为鱼重，则此种鱼的售价为：25.1/0.780./6.qkgQ元元元元该池内只能投放鱼苗。二、问题分析本文主要是设
13、计一个可以获得最佳的养鱼方案，我们知道鱼塘的面积，鱼的存活空间，不考虑鱼的繁殖与死亡，每 1kg 鱼每天需要的饲料以及鱼长成成鱼的时间以及不同质量鱼的价格，将鱼的价位与鱼的养殖时间联系起来，构建一个价格体系。但由于养鱼问题的复杂性，我们忽略了部分影响养鱼的因素，并应用线性规划模型予以解决养鱼问题。三、模型假设1、该池内只能投放鱼苗。而且不考虑鱼的繁殖与死亡；2、鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，360 天长为成鱼，成鱼的重量为 2kg；3、鱼的存活空间为 1kg / ；每 1kg 鱼每天需要的饲料为 0.005kg，2m市场上鱼饲料的价格为 0.2 元/kg；鱼苗的价格忽略不计，每
14、 1kg 鱼苗第 6 页 共 9 页大约有 500 条鱼4、假设鱼在生长过程中没有出现过变异，每条鱼的生长都服从生长系数。5、假设我们在捕鱼的过程中，鱼都是新鲜的，可以买到题目所给的价格。6、假设每天捕的鱼都能够正常卖出，没有鱼残留下来。7、放养鱼苗和捕鱼在一年四季都能进行，不受时间、季节的限制。8、放入的鱼苗不受个体差异的影响，都能按照题目所给的条件生长，同时放入的鱼苗在相同的时间内能长到同样大。9、市场上鱼的售价和饲料的售价在三年之内没有发生变化。四、模型构成与求解符号说明：以下为文本中使用的符号： （1） 最初放入的鱼的数量。0a（2） 鱼每天增重的比例。（3） 每条鱼在养殖 t 天的条
15、件下需要的饲料费用。tc（4） 每条鱼在养殖 t 天的条件下的重量。m（5）M 三年的收益总额。（6）a 每天放入的鱼苗数目。（7） 每条鱼在养殖 t 天的条件下的重量。tq五、基本养殖模型假设将鱼苗一次性放入鱼塘，等到年终长成成鱼是一次性卖出，第二年、第三年都分别按照第一年的方案。根据鱼塘的容量，等到鱼长成成鱼时的质量为 2kg，每条鱼的存活空间为 1 kg/ ,则我们设最初放入的鱼的数量为 ，2m0a=10000/2=500(条) 设鱼每天增重的比例为 ，0a 则 1000/500 =2000 360(化简可以得到 = 1计算可以求出 =0.0191 设养殖 t 天的条件下每条鱼的重量为 ，则 =1/500 tt t)1(设每条鱼在养殖 t 天的条件下需要的饲料费用为 tc= tc itiiti 11 )(250/3.05.)(50/ 设三年的收益总额为 M，则M=10 5000 2tc第 7 页 共 9 页通过计算可以得出最大利润为：M= 2.196753)3410(故在这个模型的状态和条件下养鱼，三年可以获得的收益为 196573.2元。六、模型评价此模型是根据原有的条件假设之下，结合现实生活中的实际情况，忽略部分次要因素，建立解决养鱼问题的数学模型。模型讲的是计算出一整年鱼塘中可以养的鱼的
