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1、力学综合题专题讲座,例：如图示：竖直放置的弹簧下端固定，上端连接一个砝码盘B，盘中放一个物体A，A、 B的质量分别是M=10.5kg、m=1.5 kg，k=800N/m,对A施加一个竖直向上的拉力，使它做匀加速直线运动，经过0.2秒A与B脱离，刚脱离时刻的速度为v=1.2m/s，取g=10m/s2,求A在运动过程中拉力的最大值与最小值。,解：对整体 kx1=(M+m)g,F + kx - (M+m)g= (M+m)a,脱离时，A 、B间无相互作 用力， 对B kx2-mg=ma,x1- x2 =1/2 at2 a=v/t=6m/s2,Fmax=Mg+Ma=168N,Fmin=(M+m)a=72
2、N,例. 如图示，在光滑的水平面上，质量为m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止状态，质量为2m的小球A以初速度v0向右运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过了一段时间A与弹簧分离. （1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能EP多大？ （2）若开始时在B球的右侧某位置固定一块挡板，在A球与弹簧未分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设B球与挡板的碰撞时间极短，碰后B球的速度大小不变但方向相反，欲使此后弹簧被压缩到最短时，弹性势能达到第（1）问中EP的2.5倍，必须使B球在速度多大时与挡板发生碰撞？,解： （1）当弹簧被压缩到最短时，AB两球的速度相等设为v，,由动量守恒定律,2mv0
3、=3mv,由机械能守恒定律,EP=1/22mv02 -1/23mv2 = mv2/3,（2）画出碰撞前后的几个过程图,由甲乙图 2mv0=2mv1 +mv2,由丙丁图 2mv1- mv2 =3mV,由机械能守恒定律（碰撞过程不做功）,1/22mv02 =1/23mV2 +2.5EP,解得v1=0.75v0 v2=0.5v0 V=v0/3,例7. 如图示：质量为2m 的木板，静止放在光滑的水平面上，木板左端固定 着一根轻弹簧，质量为m 的小木块（可视为质点），它从木板右端以未知速度v0 开始沿木板向左滑行。最终回到木板右端刚好未从木板上滑出。若在小木块压缩弹簧的过程中，弹簧具有的最大弹性势能为E
4、P，小木块与木板间滑动摩擦系数大小保持不变，求： 木块的未知速度v0 以木块与木板为系统,上述过程中系统损失的机械能.,解:,弹簧压缩最短时，两者具有相同的速度v1，,由动量守恒定律得： v1=1/3 v0,木块返回到右端时，两者具有相同的速度v2, 同理v2=1/3 v0,由能量守恒定律 1/2mv02 =1/23mv12 +Ep+fl,1/23mv12 +Ep= 1/23mv22 + f l,v1= v2 Ep = f l, 1/2mv02 = 1/23mv12 +2 Ep,即 1/3mv02= 2 Ep, E=2 Ep,在原子核物理中，研究核子与核关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这
5、类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0 射向 B球，如图所示。C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除定均无机械能损失）。已知A、B、C三球的质量均为m。 （1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。 （2）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。,2000年高考22,（1）设
6、C球与B球粘结成D时，D的速度为v1，由动量守恒，有,mv0 =(m+m)v 1 ,当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2 ，由动量守恒，有,2mv1 =3m v2 ,由、两式得A的速度 v2=1/3 v0 ,（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为 EP ，由能量守恒，有,撞击P后，A与D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成D 的动能，设D的速度为v3 ，则有,当弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度。当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为v4 ，由动量守恒，有,2mv3=3mv4 ,当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为 ，由能
7、量守恒，有,解以上各式得,如图所示，A、B是静止在水平地面上完全相同的两块长木板。A的左端和B的右端相接触。两板的质量皆为M=2.0kg，长度皆为l =1.0m,C 是一质量为m=1.0kg的木块现给它一初速度v0 =2.0m/s，使它从B板的左端开始向右动已知地面是光滑的，而C与A、B之间的动摩擦因数皆为=0.10求最后A、B、C各以多大的速度做匀速运动取重力加速度g=10m/s2.,01年春季北京,解：先假设小物块C 在木板B上移动距离 x 后，停在B上这时A、B、C 三者的速度相等，设为V,由动量守恒得,在此过程中，木板B 的位移为S，小木块C 的位移为S+x,由功能关系得,解、两式得,
8、代入数值得,x 比B 板的长度l 大这说明小物块C不会停在B板上，而要滑到A 板上设C 刚滑到A 板上的速度为v1，此时A、B板的速度为V1，如图示：,则由动量守恒得,由功能关系得,以题给数据代入解得,由于v1 必是正数，故合理的解是,当滑到A之后，B 即以V1= 0.155m/s 做匀速运动而C 是以 v1=1.38m/s 的初速在A上向右运动设在A上移动了y 距离后停止在A上，此时C 和A 的速度为V2，如图示：,对AC，由动量守恒得,解得 V2 = 0.563 m/s ,由功能关系得,解得 y = 0.50 m,y 比A 板的长度小，故小物块C 确实是停在A 板上最后A、B、C 的速度分
9、别为:,一只老鼠从洞口爬出后沿一直线运动，其速度大小与其离开洞口的距离成反比，当其到达距洞口为d 1 的A点时速度为v 1，若B点离洞口的距离为d 2 （d 2 d 1 ），求老鼠由A 运动到B 所需的时间,解：v1=k/d1 k=d1 v1 1/v1= d1 / k,v2=k/d2= d1v1 / d2 1/v2= d2 / d1 v1,作出vd图线，见图线，,将vd图线转化为1/v-d图线，,取一小段位移d，可看作匀速运动，,t= d/v= d1/v即为小窄条的面积。,同理可得梯形总面积即 为所求时间,t =1/2(1/v2+1/v1)(d2-d1) =(d2-d1)2 /2d1v1,经过
10、用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统。所谓双星系统是由两个星体构成的天体系统，其中每个星体的线度都远远小于两个星体之间的距离，根据对双星系统的光度学测量确定，这两个星体中的每一个星体都在绕两者连线中的某一点作圆周运动，星体到该点的距离与星体的质量成反比，一般双星系统与其它星体距离都很远，除去双星系统中两个星体之间相互作用的万有引力外，双星系统所受其它天体的作用都可以忽略不计（这样的系统称为孤立系统）。现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是m，两者的距离是L。,双星系统,下页,（1）试根据动力学理论计算该双星系统的运动周期 T0。 （2）若实际观测到
11、该双星系统的周期为T，且 。为了解释T与T0之间的差异，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种用望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型，我们假定认为在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，若不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。,上页,下页,解：,设暗物质的质量为M，重心在O点,题目,上页,一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运
12、送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T 内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。 求电动机的平均输出功率P。,解析:以地面为参考系(下同)，设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有：,S =1/2at2 v0 =at,在这段时间内，传送带运动的路程为： S0 =
13、v0 t,由以上可得： S0 =2S,用f 表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为,Af S1/2mv02,传送带克服小箱对它的摩擦力做功,A0f S021/2mv02,两者之差就是摩擦力做功发出的热量,Q1/2mv02,也可直接根据摩擦生热 Q= f S= f（S0- S）计算,题目,可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等. Q1/2mv02,T时间内，电动机输出的功为：,此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即：,W=N 1/2mv02+mgh+Q = N mv02+mgh,已知相邻两小箱的距离为L，所以：,v0TNL v0NL / T,联立，得：
14、,题目,(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度 为零时，下降的距离最大设下降的最大距离为h ，,由机械能守恒定律得,解得,（另解h=0舍去）,(2)系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为,a两小环同时位于大圆环的底端,b两小环同时位于大圆环的顶端,c两小环一个位于大圆环的顶端， 另一个位于大圆环的底端,d. 见下页,题目,下页,d除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧角的位置上(如图所示),对于重物，受绳子拉力与重力作用， 有T=mg,对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳的拉力T、 竖直
15、绳子的拉力T、大圆环的支持力N.,两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反,得=,而+=90，,所以=45 ,题目,上页,一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u(其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值)设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计已知v 的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg. （1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小 （2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数 （供使用但不一定用到的对数值：lg2=O.301，lg3=0.477),解：（1）设雪橇运动的方向为正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V1，根据动量守恒定律，有,狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度 满足,可解得,将,代入，得,题目,下页,（2）解：设雪橇运动的方向为正方向。狗第i 次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vi ,狗的速度为Vi+u；狗第
