赵甫——概率与统计(文科)

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1、概率与统计 重点知识回顾 第一讲 随机抽样 第二讲 概率计算古典与几何概型 第三讲 统计用样本估计总体 第四讲 统计案例回归分析与独立性检验 第五讲 新课标高考真题选讲,高三数学组: 赵甫,一、统计,1.抽样方法包括: 简单随机抽样 、 系统抽样 、 分层抽样,三种方法.,2.频率分布直方图中,纵轴表示 频率/组距 ,数据落在各个小组 内的频率用 小矩形的面积 表示,各小矩形的面积和等于 1 .,3.众数、平均数、中位数是描述数据的 集中趋势 的量,方差、 标准差则是描述数据的 波动大小 .其中,方差的计算公式为 s2= (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2 .,为茎, 个位数字 作

2、为叶,如数据为三位数,则把十位和百位数字 合在一起作为茎,个位数字作为叶.,二、概率,1.在古典概型中,事件A的概率公式P(A)= .,2.在几何概型中,事件A的概率公式P(A)= ,其中表示区域的几何度量,A表示区域A的几何度量.,4.茎叶图通常用来记录两位数的数据,把两位数的 十位数字 作,3.不可能同时发生的事件叫做互斥事件,若事件A和B为互斥事件, 则P(AB)= P(A)+P(B) ,这个公式推广到n个互斥事件时也成 立.(P(AB)也可记为P(A+B),三、统计案例,1.回归分析,(1)回归直线方程: = x+ (也可写成 =bx+a或y=bx+a)一定过样 本点中心( , ) .

3、,(2)样本相关系数r,当r0时,表明两变量正相关;当r0时,表明两变量负相关.|r|越接近 1,表明两变量的线性相关性越强;|r|越接近0,表明两变量的线性相 关关系越弱.,2.独立性检验,当根据具体的数据算出的K23.841时,有 95% 的把握说事件A 与B有关;当K26.635时,有 99% 的把握说事件A与B有关.,概率知识的考查是近几年新课改后高考命题的一大热点,高 考每年在选择、填空或解答题中都有所体现,由于文科数学后续 课程不再学习概率,文科数学将重点考查概率的意义、古典概型 与几何概型的掌握和运用.在处理概率问题时主要有两种思路:正 向思路和逆向思路.正向思考可对复杂问题进行

4、分解;逆向思考常 使一些复杂问题得到简化.要学会将实际问题转化为古典概型和几何概型来解决.,古典概型,1、若不等式组 所表示的平面区域为M,x2+y21所表示的平面 区域为N,现随机向区域M内抛一粒豆子,则豆子落在区域N内的概率为 .,几何概型,【答案】(1)0.7 (2)D (3),(1)频率在某个固定值左右波动,这个值才是概率,不能随便 将一频率值作为概率,但是随着试验次数的增加,频率值会越来越 接近于概率.,1、如图,OAB即为可行域M.图中的阴影区域即所求豆子要落的 区域.阴影区域的面积为 ,且SOAB= ,故所求概率为P= = .,(2)在解决概率问题时,要注意“正难则反”的思想.,

5、(3)几何概型的关键是用长度(或面积、体积)来度量试验结果.,统计试题主要考查抽样方法、频率分布直方图、茎叶图、众 数、中位数、平均数、方差等,抽样方法主要考查系统抽样或分 层抽样,较为简单.茎叶图、中位数、方差是高考的另一个热点,考 查频率较高.此类问题高考题难度不大,主要是选择或填空题.但最 近几年有与概率知识相结合在综合题中考查的试题,要引起重视.,例1 (1)从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据 绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a= .若要从身高 在120,130),130,140),140,150三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18人参加一项

6、活动,则从身高在140,150内的学生中选取的人数应为 .,(2)(2011年江西)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名 学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为 me,众数为m0,平均值为 ,则 ( ),(A)me=m0= . (B)me=m0 .,(C)mem0 . (D)m0me .,【分析】第(1)小题中a的值可根据频率分布直方图中各小矩形的面积之 和等于1计算即可,对于分层抽样,各层抽取的比例是相同的,且都等于样 本容量与总体容量的比值.,第(2)小题由频率条形图得出30名学生得分,再分别计算中位数、众数、 平均数比较结果.,【答案】(1)0

7、.03 3 (2)D,通过对样本数据的分析,为合理地决策提供一些依据,是统 计思想的重要体现;能根据实际问题的需求,合理地选取样本,从中提取并 理解好基本数字特征(如中位数、平均数、方差等),并作出合理的分析, 是解题的关键.,= 5.97.,于是得m0me .故选D.,例2 某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了n名 同学进行调查,下表是这n名同学的日平均睡眠时间的频率分布表.,(1)求n的值.若a=20,将表中数据补全,并画出频率分布直方图;,(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间4, 5)的中点 值是4.5作为代表.若据此计算这n名学生的日平均睡眠

8、时间的平均值为6. 52,求a、b的值,并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上 的概率.,【分析】首先根据题目中的数据完成频率分布表,作出频率分布直方图, 根据频率分布直方图和睡眠时间的平均值,求出a、b的值进而再计算概 率.,【解析】(1)由频率分布表可得n= =50.,补全数据如下表:,频率分布直方图如下:,(2)由题意得,解得:a=15,b=15.,设“该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上”为事件A,则P (A)= =0.38.,即该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率为0.38.,本题主要考查频数、频率及频率分布直方图,考查运 用统计知识解决简单实际问题的能力,数据处

9、理能力和运用意识. 要注意同一组数据常用该组区间的中点值作为代表.,统计案例包括回归分析与独立性检验两大知识点.主要考查 基本概念、基本思想.题型多样化,选择题、填空题、解答题都可 能出现.高考中回归分析应该重点在先分析再求解回归直线方程, 并进行相应的估计预测,但由于这类问题的计算量较大,预计试题 中出现的数据组数不会太多,应在5组10组数据之内.对于独立性 检验问题,将主要以K2的计算为主,以及根据结果进行相关性判断.,1.回归分析,例2 (1)(2011年江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5对父子的身高数据如下:,则y对x的线性回归方程为 ( ),(A) =x-1. (B

10、) =x+1.,(C) =88+ x. (D) =176.,(2)某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况, 具体数据如下表:,为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到K2= 4.844.,因为P(K23.841)=0.05,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种,判断出错的可能性为 .,(2)独立性检验可以先假设两个分类变量X与Y无关系,计算出K2的值,并与 临界值进行比较,可以判断X与Y有关系的程度或无关系.在该假设下,构 造的随机变量K2应该很小,如果实际计算出的K2的值很大,则在一定程度 上说明假设不合理.,【解析】(1) =176, =176,

11、由线性回归知识知点( , )=(176,176)一定在回 归直线上,代入各选项检验,只有C符合,故选C.,【分析】(1)回归直线过点( , ),故先求 , ,将点( , )代入检验,若不能验 出,则只能求b和a.,(2)根据K23.841,我们得到他们有关系的概率为95%,故其无关系 的概率,即判断出错的可能性为5%.,【答案】(1)C (2)5%,二轮复习时从实际问题入手来考虑,理解独立性检验、线 性回归分析的基本思想、方法及初步应用.经历较为系统的数据处理的 全过程,培养对数据的直观感觉,认识统计方法的特点,进一步体会统计方 法应用的广泛性.不要单纯记忆公式和简单的套用公式,应学会在学习中

12、 不断自我完善.,独立性检验,14年新课标文19. 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民。根据这50位市民 （I）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数； （II）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于90的概率； （III）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。,近年高考真题选讲,【解析】 （1） 两组数字是有序排列的，50个数的中位数为第25,26两个数。由给出的数据可知道，市民对甲部门评分的中位数为(75+75)/2=75,对乙部门评分的中位数为(66+68)/2=77 所以，市民对甲、乙两部门评分的中位数分别为75,77 (2) 甲部门评分数高于90共

13、有5个、乙部门评分数高于90共有8个，部门的评分做于90的概率。因此，估计市民对甲、乙部门的评分小于90的概率分别为 所以，市民对甲、乙部门的评分大于90的概率分别为0.1,0.16,(2013课标全国，文19) 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品以X(单位：t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 (1)将T表示为X的函数； (2)根据直方图估计

14、利润T不少于57 000元的概率, 解析： (1)当X100,130)时，T500X300(130X)800X39 000. 当X130,150时，T50013065 000. 所以 (2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120X150. 由直方图知需求量X120,150的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.,【12年新课标文18】 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。 （）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：

15、枝，nN）的函数解析式。 （）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：,(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。,【11年新课标文（19）】 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：,（）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为,估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润。,解：本题考查概率的基本知识，属于容易题。 （）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为=0.3所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3。 由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42， 所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42. （）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率当且仅当 t94,由试验